Question

如圖1，兩個等腰直角三角板ABC和DEF有一條邊在同一條直線l上，DE=2，AB=1．將直線EB繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)45°，交直線AD于點M．將圖1中的三角板ABC沿直線l向右平移，設(shè)C、E兩點間的距離為k．
解答問題：
（1）①當點C與點F重合時，如圖2所示，可得

AM

DM

的值為

1

；②在平移過程中，

AM

DM

的值為

k

2

（用含k的代數(shù)式表示）；
（2）將圖2中的三角板ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，原題中的其他條件保持不變．當點A落在線段DF上時，如圖3所示，請補全圖形，計算

AM

DM

的值；
（3）將圖1中的三角板ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α度，0＜α≤90，原題中的其他條件保持不變．計算

AM

DM

的值（用含k的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)題意可得EM垂直平分DF，直線AF∥EM，從而

AM

DM

轉(zhuǎn)化為

DO

OF

，繼而得出結(jié)論；②仿照①的思路進行求解即可；
（2）先補全圖形，連接AE，分別求出AM及DM的值，然后可確定比值．
（3）先畫出圖形，然后證明△ABG≌△CBE，繼而推出AG∥DE，△AGM∽△DEM，利用相似三角形的性質(zhì)即可得出答案．

解答：解：（1）①如圖，

∵∠MEB=45°，∠AFB=45°，
∴EM垂直且平分DF，AF∥EM，
∴

AM

DM

=

FO

OD

=1；
②如圖

由①可得

AM

DM

=

HO

OD

=

HO

OF

=

EC

EF

=

k

2

；

（2）連接AE，

∵△ABC，△DEF均為等腰直角三角形，DE=2，AB=1，
∴EF=2，BC=1，∠DEF=90°，∠4=∠5=45°
∴DF=2

2

，AC=

2

，∠EFB=90°，
∴DF=2AC，AD=

2

，
∴點A為CD的中點，
∴EA⊥DF，EA平分∠DEF，
∴∠MAE=90°，∠AEF=45°，AE=

2

，
∵∠BEM=45°，
∴∠1+∠2=∠3+∠2=45°，
∴∠1=∠3，
∴△AEM∽△FEB，
∴

AM

BF

=

AE

EF

，
∴AM=

2

2

，
∴DM=AD-AM=

2

-

2

2

=

2

2

，
∴

AM

DM

=1．

（3）過B作BE的垂線交直線EM于點G，連接AG、BG，
，
∴∠EBG=90°，
∵∠BEM=45°，
∴∠EGB=∠BEM=45°，
∴BE=BG，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠1=∠2，
∴△ABG≌△CBE，
∴AG=EC=k，∠3=∠4，
∵∠3+∠6=∠5+∠4=45°，
∴∠6=∠5，
∴AG∥DE，
∴△AGM∽△DEM，
∴

AM

DM

=

AG

DE

=

k

2

．

點評：本題考查了相似形綜合題，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，考察的知識點比較多，難度較大，解答本題之前一定要將圖形畫出來，這樣可以使我們的思考方向更準確一些，另外要求我們熟練掌握各個基礎(chǔ)知識點的內(nèi)容．