【題目】如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍,那么稱這樣的方程為“倍根方程”.例如,一元二次方程x2﹣6x+8=0的兩個(gè)根是2和4,則方程x2﹣6x+8=0就是“倍根方程”.
(1)若一元二次方程x2﹣3x+c=0是“倍根方程”,則c= ;
(2)若(x﹣2)(mx﹣n)=0(m≠0)是“倍根方程”,求代數(shù)式4m2﹣5mn+n2的值;
(3)若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是“倍根方程”,求a,b,c之間的關(guān)系.
【答案】(1)2;(2)4m2﹣5mn+n2=0;(3)a,b,c之間的關(guān)系是2b2﹣9ac=0.7.
【解析】【試題分析】(1)根據(jù)倍根方程的定義,利用根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=3,x1x2=c,即x1+2x1=3,2x12=c,求出c=2;
(2) 根據(jù)倍根方程的定義, ,進(jìn)行分類討論,當(dāng)x2=1時(shí), ,即m=n,代入代數(shù)式4m2﹣5mn+n2=0;當(dāng)x2=4時(shí), ,即n=4m,代入代數(shù)式4m2﹣5mn+n2=0.
(3)根據(jù)倍根方程的定義,引入?yún)?shù)t, a(x﹣t)(x﹣2t)=0然后對應(yīng)ax2+bx+c=0,則
b=-3at, ,然后消去參數(shù)t,即a,b,c之間的關(guān)系是2b2﹣9ac=0.
【試題解析】
(1)∵一元二次方程x2﹣3x+c=0是“倍根方程”,
∵x1+x2=3,x1x2=c,即x1+2x1=3,2x12=c,
∴c=2,
故答案為:2;
(2)解方程(x﹣2)(mx+n)=0(m≠0)得,x1=2, .
∵方程兩根是2倍關(guān)系,
∴x2=1,
當(dāng)x2=1時(shí), ,即m=n,
代入代數(shù)式4m2﹣5mn+n2=0,
當(dāng)x2=4時(shí), ,即n=4m,
代入代數(shù)式4m2﹣5mn+n2=0.
綜上所述,4m2﹣5mn+n2=0;
(3)根據(jù)“倍根方程”的概念設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根為t和2t.
∴原方程可以改寫為a(x﹣t)(x﹣2t)=0,
∴ax2+bx+c=ax2﹣3atx+2at2,
∴.
解得2b2﹣9ac=0.
∴a,b,c之間的關(guān)系是2b2﹣9ac=0.
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(1)如何才能圍成矩形花園的面積為75m2?
(2)能夠圍成面積為101m2的矩形花園嗎?如能說明圍法,如不能,說明理由.
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【題目】某班為了從甲、乙兩位同學(xué)中選出班長,進(jìn)行了一次演講答辯與民主測評A、B、C、D、E五位老師作為評委,對“演講答辯”情況進(jìn)行評價(jià),全班50位同學(xué)參與了民主測評。結(jié)果如下表所示:
規(guī)定:演講答辯得分按“去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分再算平均分”的方法確定;
民主測評得分=“好”票數(shù)×2分+“較好”票數(shù)×1分+“一般”票數(shù)×0分;
綜合得分=演講答辯得分×(1-a)+民主測評得分×a(0.5≤a≤0.8);
(1) 當(dāng)a=0.6時(shí),甲的綜合得分是多少?
(2) 如果以綜合得分來確定班長,試問:甲、乙兩位同學(xué)哪一位當(dāng)選為班長?并說明理由。
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