Question

(2006安徽，23)(13分)取一副三角板按圖①拼接，固定三角板ADC，將三板ABC繞點A依順時針方向旋轉(zhuǎn)一個大小為α的角(0°＜α≤45°)得到△，如圖所示．

試問：(1)當(dāng)α為多少度時，能使得圖②中AB∥DC？

(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖③位置，此時α又為多少度？圖③中你能找出哪幾對相似三角形，并求其中一對的相似比；

圖③

(3)連結(jié)BD，當(dāng)0°＜α≤45°時，探尋∠值的大小變化情況，并給出你的證明．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)如圖②，由題意∠，要使AB∥DC，須∠BAC=∠ACD，∴∠BAC=30°．45°－30°=15°即α=15°時，能使得AB∥DC．(4分) 圖② (2)易得α=45°時，可得圖③，此時，若記DC與、分別交于點E、F． 圖③ 則共有兩對相似三角形：ΔBFC∽ΔADC，Δ∽ΔADE．(6分) 下求ΔBFC與ΔADC的相似比： 在圖③中，設(shè)AB=a，則易得AC=．則．(8分) 注：Δ與ΔADE的相似比為：． (3)解法一： 當(dāng)0°＜α≤45°時，總有Δ存在． ∵，又=180°，∴=180°．(11分) 又∵=45°，∠C=30°，∴=105°．(13分)