如圖,在平面直角坐標系中,直線交x軸于A點,交y軸于B點,點C是線段AB的中點,連接OC,然后將直線OC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)30°交x軸于點D,再過D點作直線DC1∥OC,交AB與點C1,然后過C1點繼續(xù)作直線D1C1∥OC,交x軸于點D1,并不斷重復(fù)以上步驟,記△OCD的面積為S1,△DC1D1的面積為S2,依此類推,后面的三角形面積分別是S3,S4…,那么S1= ,若S=S1+S2+S3+…+Sn,當n無限大時,S的值無限接近于 .
【考點】一次函數(shù)綜合題.
【專題】壓軸題.
【分析】根據(jù)直線AB的解析式,易得OB=,OA=3,即∠OBA=60°,而C是Rt△OAB的中點,那么易得△OCB是等邊三角形,則∠COD=30°,OC=;
(1)首先求△OCD的面積,已知∠DCO=∠DOC=30°,那么△OCD是等腰三角形,過D作OC的垂線設(shè)垂足為E,易得OE的長,通過解直角三角形可求得DE的值,從而根據(jù)三角形的面積公式得到△OCD的面積;
(2)求S的值,需要從整體出發(fā);過O作OC0∥DC,那么OC0⊥AB,易可求出△OC0B、△OCC0的值,通過觀察,△OC0C、△DCC1、△D1C1D2…都是相似三角形,△ODC、△OD1C1、△D1C2D2…也都是相似三角形,因此上述兩種相似三角形的面積和將△OC0A的面積分為兩部分,且它們的比為△OC0C與△ODC的面積比,可據(jù)此求出S的值.
【解答】解:過O作OC0⊥AB于C0,過D作DE⊥OC于E;
由直線AC的解析式可知:
當y=0時,x=3,則OA=3;
當x=0時,y=,則OB=;
故∠OBA=60°,∠OAB=30°;
由于C是Rt△AOB斜邊AB的中點,
所以O(shè)C=CB,則△OBC是等邊三角形;
∴∠BOC=60°,∠DOC=∠DCO=30°;
∴OE=CE=;
(1)△ODE中,OE=,∠DOE=30°,
則DE=,S△OCD=OC•DE=;
(2)易知:S△AOB=OA•OB=,S△BOC=S△AOB=,S△OBC0=S△OCC0=S△OBC=;
∴S△OC0A=S△OAB﹣S△OBC0=﹣=;
由題意易得:△OC0C、△DCC1、△D1C1D2…都相似,△ODC、△OD1C1、△D1C2D2…也都相似;
設(shè)△OC0C、△DCC1、△D1C1D2…的面積和為S′,則:
S′:S=S△OC0C:S△OCD=: =3:2,
∴S=S△OC0A=×=;
故答案為:,.
【點評】此題主要考查了圖形面積的求法,涉及到一次函數(shù)圖象與坐標軸交點坐標的求法、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形及等腰三角形的性質(zhì)等知識,注意此題中整體思想的運用.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以點C為圓心的圓與AB相切,則⊙C的半徑為( 。
A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
2011年北京春季房地產(chǎn)展示交易會期間,某公司對參加本次房交會的消費者的年收入和打算購買住房面積這兩項內(nèi)容進行了隨機調(diào)查,共發(fā)放100份問卷,并全部收回.統(tǒng)計相關(guān)數(shù)據(jù)后,制成了如下的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖:
消費者年收入統(tǒng)計表
年收入(萬元) | 4.8 | 6 | 9 | 12 | 24 |
被調(diào)查的消費者數(shù)(人) | 10 | 50 | 30 | 9 | 1 |
請你根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)補全統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖;
(2)打算購買住房面積小于100平方米的消費者人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的百分比為 ;
(3)求被調(diào)查的消費者平均每人年收入為多少萬元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
設(shè)邊長為2a的正方形的中心A在直線l上,它的一組對邊垂直于直線l,半徑為r的⊙O的圓心O在直線l上運動,點A、O間距離為d.
(1)如圖①,當r<a時,根據(jù)d與a、r之間關(guān)系,將⊙O與正方形的公共點個數(shù)填入下表:
d、a、r之間關(guān)系 | 公共點的個數(shù) |
d>a+r | |
d=a+r | |
a﹣r<d<a+r | |
d=a﹣r | |
d<a﹣r |
所以,當r<a時,⊙O與正方形的公共點的個數(shù)可能有 個;
(2)如圖②,當r=a時,根據(jù)d與a、r之間關(guān)系,將⊙O與正方形的公共點個數(shù)填入下表:
d、a、r之間關(guān)系 | 公共點的個數(shù) |
d>a+r | |
d=a+r | |
a≤d<a+r | |
d<a |
所以,當r=a時,⊙O與正方形的公共點個數(shù)可能有 個;
(3)如圖③,當⊙O與正方形有5個公共點時,試說明r=a.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
嘉淇想證明三角形內(nèi)角和是180°和其他一些的命題.請完成下列一些命題和證明.
(1)怎樣證明三角形內(nèi)角和是180°呢?
(2)已知命題:等腰三角形底邊上的中線和頂角的角平分線重合,證明這個命題,并寫出它的逆命題,逆命題成立嗎?
命題: 底邊上的中線和頂角的角平分線重合的三角形是等腰三角形
證明: 證明:在△ABD和△ACD中,
∵,
∴△ABD≌△ACD(SSS),
∴∠BAD=∠CAD
由此我們不難發(fā)現(xiàn): 此命題是互逆命題
那么怎樣證明呢?請寫出證明過程.(可以畫出作圖痕跡.)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,在平面直角坐標系xOy中,Rt△OA1C1,Rt△OA2C2,Rt△OA3C3,Rt△OA4C4…的斜邊都在坐標軸上,∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4…=30°.若點A1的坐標為(3,0),OA1=OC2,OA2=OC3,OA3=OC4…,則依次規(guī)律,點A2016的縱坐標為( 。
A.0 B.﹣3×()2015 C.(2)2016 D.3×()2015
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,AB、CD、EF、MN均為直線,∠2=∠3=70°,∠GPC=80°,GH平分∠MGB,則∠1=( 。
A.35° B.40° C.45° D.50°
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
矩形ABCD一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得點B落在CD邊上的點P處.
(1)如圖1,已知折痕與邊BC交于點O,連接AP、OP、OA.
①求證:△OCP∽△PDA;
②若△OCP與△PDA的面積比為1:4,求邊AB的長.
(2)如圖2,在(1)的條件下,擦去AO和OP,連接BP.動點M在線段AP上(不與點P、A重合),動點N在線段AB的延長線上,且BN=PM,連接MN交PB于點F,作ME⊥BP于點E.試問動點M、N在移動的過程中,線段EF的長度是否發(fā)生變化?若不變,求出線段EF的長度;若變化,說明理由.
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