解:(1)∵OA⊥OB,OA:OB=4:3,⊙D的半徑為2
∴⊙C過原點,OC=4,AB=8
A點坐標為(
,0)B點坐標為(0,
)
∴⊙C的圓心C的坐標為(
)
(2)由EF是⊙D的切線,
∴OC⊥EF
∵CO=CA=CB
∴∠COA=∠CAO,∠COB=∠CBO
∴Rt△AOB∽Rt△OCE∽Rt△FCO
∴
,
∴OE=5,OF=
∴E點坐標為(5,0),F(xiàn)點坐標(0,
)
∴切線EF的解析式為y=-
x+
;
(3)①當拋物線開口向下時,由題意,得
拋物線頂點坐標為(
,
+4),
可得:-
=
,
=
,c=
∴a=-
,b=1,c=
,
∴y=-
x
2+x+
;
②當拋物線開口向上時,
頂點坐標為(
,
-4),
可得:-
=
,
=-
,c=
,
∴y=
x
2-4x+
;
綜上所述,拋物線解析式為:
y=-
x
2+x+
或y=
x
2-4x+
.
注:其他解法參照以上評分標準評分
分析:(1)⊙C以AB為直徑,則C為Rt△OAB中斜邊AB的中點,易知OC=4,那么AB=2OC=8;由OA、OB的比例關系,易知∠BAO的正切值,通過解直角三角形即可求得OB、OA的長,進而可求出A、B的坐標,也就能得到C點的坐標(若過C分別作OA、OB的垂線,由垂徑定理即可求得C點的坐標);
(2)由(1)知OC是Rt△OAB斜邊AB的中線,則BC=OC=AC,可得到∠BOC=∠CBO,∠COA=∠CAO;由此可證得Rt△AOB、Rt△OCE、Rt△FCO都相似,根據(jù)OC的長和相似三角形的比例線段即可求得OE、OF的長,也就得到了E、F的坐標,進而可用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式;
(3)拋物線的對稱軸過C點,且頂點在⊙C上,根據(jù)⊙C的半徑及C點坐標,易求得拋物線的頂點坐標,又已知了B點的坐標,即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.(注意要分兩種情況:①拋物線開口向上,②拋物線開口向下)
點評:此題綜合考查了圓周角定理、相似三角形的判定和性質、一次函數(shù)及二次函數(shù)解析式的確定等知識,綜合性強,難度較大.