Question

已知二次函數y=ax²+bx-2的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為（4，0），且當x=-2和x=5時二次函數的函數值y相等．
（1）求實數a、b的值；
（2）如圖1，動點E、F同時從A點出發(fā)，其中點E以每秒2個單位長度的速度沿AB邊向終點B運動，點F以每秒個單位長度的速度沿射線AC方向運動．當點E停止運動時，點F隨之停止運動．設運動時間為t秒．連接EF，將△AEF沿EF翻折，使點A落在點D處，得到△DEF．
①是否存在某一時刻t，使得△DCF為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
②設△DEF與△ABC重疊部分的面積為S，求S關于t的函數關系式；

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線圖象經過點A以及“當x=-2和x=5時二次函數的函數值y相等”兩個條件，列出方程組求出待定系數的值．
（2）①首先由拋物線解析式能得到點A、B、C三點的坐標，則線段OA、OB、OC的長可求，進一步能得出AB、BC、AC的長；首先用t 表示出線段AD、AE、AF（即DF）的長，則根據AE、EF、OA、OC的長以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似，那么△AEF也是一個直角三角形，及∠AEF是直角；若△DCF是直角，可分成三種情況討論：
1、點C為直角頂點，由于△ABC恰好是直角三角形，且以點C為直角頂點，所以此時點B、D重合，由此得到AD的長，進而求出t的值；
2、點D為直角頂點，此時∠CDB與∠CBD恰好是等角的余角，由此可證得OB=OD，再得到AD的長后可求出t的值；
3、點F為直角頂點，當點F在線段AC上時，∠DFC是銳角，而點F在射線AC的延長線上時，∠DFC又是鈍角，所以這種情況不符合題意．
②此題需要分三種情況討論：
1、當點E在點A與線段AB中點之間時，兩個三角形的重疊部分是整個△DEF；
2、當點E在線段AB中點與點O之間時，重疊部分是個不規(guī)則四邊形，那么其面積可由大直角三角形與小鈍角三角形的面積差求得；
3、當點E在線段OB上時，重疊部分是個小直角三角形．
解答：解：（1）由題意得
解得：a=，b=-．

（2）①由（1）知二次函數為y=x²-x-2
∵A（4，0），∴B（-1，0），C（0，-2）
∴OA=4，OB=1，OC=2
∴AB=5，AC=2，BC=
∴AC²+BC²=25=AB²
∴△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°
∵AE=2t，AF=t，∴==
又∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB
∴∠AEF=∠ACB=90°
∴△AEF沿EF翻折后，點A落在x軸上點D處；
由翻折知，DE=AE，∴AD=2AE=4t，EF=AE=t
假設△DCF為直角三角形
當點F在線段AC上時
�。┤鬋為直角頂點，則點D與點B重合，如圖2
∴AE=AB=
t=÷2=；
ⅱ）若D為直角頂點，如圖3
∵∠CDF=90°，∴∠ODC+∠EDF=90°
∵∠EDF=∠EAF，∴∠OBC+∠EAF=90°
∴∠ODC=∠OBC，∴BC=DC
∵OC⊥BD，∴OD=OB=1
∴AD=3，∴AE=
∴t=；
當點F在AC延長線上時，∠DFC＞90°，△DCF為鈍角三角形
綜上所述，存在時刻t，使得△DCF為直角三角形，t=或t=．
②ⅰ）當0＜t≤時，重疊部分為△DEF，如圖1、圖2
∴S=×2t×t=t²；
ⅱ）當＜t≤2時，設DF與BC相交于點G，則重疊部分為四邊形BEFG，如圖4
過點G作GH⊥BE于H，設GH=x
則BH=，DH=2x，∴DB=
∵DB=AD-AB=4t-5
∴=4t-5，∴x=（4t-5）
∴S=S_△DEF-S_△DBG=×2t×t-（4t-5）×（4t-5）=-t²+t-；
ⅲ）當2＜t≤時，重疊部分為△BEG，如圖5
∵BE=DE-DB=2t-（4t-5）=5-2t，GE=2BE=2（5-2t）
∴S=×（5-2t）×2（5-2t）=4t²-20t+25．

點評：此題主要考查的是動點函數問題，涉及了函數解析式的確定、直角三角形以及相似三角形的判定和性質、等腰三角形的性質以及圖形面積的解法等綜合知識；第二題的兩個小題涉及的情況較多，一定要根據動點的不同位置來分類討論，抓住動點的關鍵位置來確定未知數的取值范圍是解題的關鍵所在．