Question

如圖，⊙O的圓心在坐標原點，半徑為2，直線y=x+b（b＞0）與⊙O交于A、B兩點，點O關于直線y=x+b的對稱點O′，
（1）求證：四邊形OAO′B是菱形；
（2）當點O′落在⊙O上時，求b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據軸對稱得出直線y=x+b是線段OO′的垂直平分線，推出AO=AO′，BO=BO′，求出AO=AO′=BO=BO′，即可推出答案；
（2）設直線y=x+b與x軸、y軸的交點坐標分別是N（-b，0），P（0，b），得出等腰直角三角形ONP，求出OM⊥NP，求出MP=OM=1，根據勾股定理求出即可．
解答：（1）證明：連接OO′，
∵點O關于直線y=x+b的對稱，
∴直線y=x+b是線段OO′的垂直平分線，
∴AO=AO′，BO=BO′，
又∵OA，OB是⊙O的半徑，
∴OA=OB，
∴AO=AO′=BO=BO′，
∴四邊形OAO′B是菱形．

（2）解：如圖，當點O′落在圓上時，
∵OM=OO′=1，
∵設直線y=x+b與x軸、y軸的交點坐標分別是N（-b，0），P（0，b），
∴△ONP為等腰直角三角形，
∴∠ONP=45°，
∵四邊形OAO′B是菱形，
∴OM⊥PN，
∵∠ONP=45°=∠OPN，
∴OM=PM=MN=1，
在Rt△POM中，由勾股定理得：OP=，
即b=．
點評：本題考查了一次函數，等腰直角三角形，勾股定理，菱形的判定等知識點的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力，注意：圖形和已知條件的結合，題目比較典型，難度也適中，是一道比較好的題目．