Question

【題目】問題提出

（1）如圖1，點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b，填空：當點A位于　 　時，線段AC的長取得最大值，且最大值為　 　（用含a，b的式子表示）．

問題探究

（2）點A為線段BC外一動點，且BC=6，AB=3，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE，找出圖中與BE相等的線段，請說明理由，并直接寫出線段BE長的最大值．

問題解決：

（3）①如圖3，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（5，0），點P為線段AB外一動點，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求線段AM長的最大值及此時點P的坐標．

②如圖4，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=4，若對角線BD⊥CD于點D，請直接寫出對角線AC的最大值．

Answer 1

【答案】（1）CB的延長線上，a+b；（2）①CD=BE，②9；（3）P（2﹣，）（4）AC的最大值為2+2

【解析】試題分析：（1）根據(jù)點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，即可得到結(jié)論；

（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE；②由于線段BE長的最大值=線段CD的最大值，根據(jù)（1）中的結(jié)論即可得到結(jié)果；

（3）連接BM，將△APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PA=2，BN=AM，根據(jù)當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，即可得到最大值為2+3；過P作PE⊥x軸于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得到結(jié)論；

（4）如圖4中，以BC為邊作等邊三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC=MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由BC=4=定值，∠BDC=90°，推出點D在以BC為直徑的⊙O上運動，由圖象可知，當點D在BC上方，DM⊥BC時，DM的值最大；

試題解析：解：（1）∵點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b，∴當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b．故答案為：CB的延長線上，a+b；

（2）①CD=BE，理由：∵△ABD與△ACE是等邊三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB．在△CAD與△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴CD=BE；

②∵線段BE長的最大值=線段CD的最大值，∴由（1）知，當線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延長線上，∴最大值為BD+BC=AB+BC=3+6=9；

（3）如圖1，連接BM．∵將△APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，則△APN是等腰直角三角形，∴PN=PA=2，BN=AM．∵A的坐標為（2，0），點B的坐標為（5，0），∴OA=2，OB=5，∴AB=3，∴線段AM長的最大值=線段BN長的最大值，∴當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，最大值=AB+AN．∵AN=AP=2，∴最大值為2+3；

如圖2，過P作PE⊥x軸于E．∵△APN是等腰直角三角形，∴PE=AE=，∴OE=BO﹣AB﹣AE=5﹣3﹣=2﹣，∴P（2﹣）．

（4）如圖4中，以BC為邊作等邊三角形△BCM．∵∠ABD=∠CBM=60°，∴∠ABC=∠DBM．∵AB=DB，BC=BM，∴△ABC≌△DBM，∴AC=MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可．∵BC=4=定值，∠BDC=90°，∴點D在以BC為直徑的⊙O上運動，由圖象可知，當點D在BC上方，DM⊥BC時，DM的值最大，最大值=2+2，∴AC的最大值為2+2．