Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC=10，BC=12，P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的平行線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，DP是⊙O的切線？請(qǐng)說明理由；
（2）當(dāng)DP為⊙O的切線時(shí)，求線段DP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，得出=，得出PA是○O的直徑，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，問題得證；
（2）利用切線的性質(zhì)，由勾股定理得出半徑長(zhǎng)，進(jìn)而得出△ABE∽△ADP，即可得出DP的長(zhǎng)．
解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，DP是⊙O的切線．理由如下：
∵AB=AC，
∴=，
又∵=，
∴=，
∴PA是⊙O的直徑，
∵=，
∴∠1=∠2，
又AB=AC，
∴PA⊥BC，
又∵DP∥BC，
∴DP⊥PA，
∴DP是⊙O的切線．

（2）連接OB，設(shè)PA交BC于點(diǎn)E．
由垂徑定理，得BE=BC=6，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得：
AE===8，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OE=8-r，
在Rt△OBE中，由勾股定理，得：
r²=6²+（8-r）²，
解得r=，
∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D，
又∵∠1=∠1，
∴△ABE∽△ADP，
∴=，即=，
解得：DP=．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以及勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出△ABE∽△ADP是解題關(guān)鍵．