Question

如圖，將一塊含30°角的學(xué)生用三角板放在平面直角坐標(biāo)系中，使頂點(diǎn)A、B分別放置在y軸、x軸上，已知AB=2，∠ABO=∠ACB=30°．
（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）求過A，B，C三點(diǎn)的拋物線解析式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB的面積等于△ABC的面積？若不存在，請說明理由；若存在，請你求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOB中，可求出OA、OB，繼而得出A、B的坐標(biāo)，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，在Rt△BCD中求出BD，CD即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法可求出過A，B，C三點(diǎn)的拋物線解析式；
（3）分兩種情況討論，①點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，②點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合，求出直線AB的解析式，過點(diǎn)C作直線AB的平行線，則與拋物線的交點(diǎn)即是符合題意的點(diǎn)P的位置．

解答：解：（1）在Rt△AOB中，∠ABO=30°，AB=2，
則OA=1，OB=

3

，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

3

，0），
在Rt△ABC中，AB=2，∠ACB=30°，
則BC=ABcot∠ACB=2

3

，
過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖所示：

在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=2

3

，
則BD=BCsin∠BCD=

3

，CD=

3

BD=3，
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2

3

，3）．
綜上可得點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（

3

，0），點(diǎn)C（2

3

，3）．

（2）設(shè)y=ax²+bx+1，
將B（

3

，0），C（2

3

，3）代入可得：

3a+ 3 b+1=0 12a+2 3 b+1=3

，
解得：

a= 2 3 b=- 3

，
故拋物線解析式為：y=

2

3

x²-

3

x+1．
（3）①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，很明顯△PAB的面積等于△ABC，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2

3

，3）．

②點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合時(shí)，設(shè)直線AB解析式為y=kx+1，
將B（

3

，0）代入可得：

3

k+1=0，
解得：k=-

3

3

，
∴y=-

3

3

x+1，
過點(diǎn)C作直線AB的平行線，則與拋物線交點(diǎn)為點(diǎn)P的位置，

設(shè)直線CP的解析式為y=-

3

3

x+m，
將C（2

3

，3）代入可得：3=-

3

3

×2

3

+m，
解得：m=5，
∴直線CP的解析式為y=-

3

3

x+5，
聯(lián)立拋物線與直線CP的解析式：

y=- 3 3 x+5 y= 2 3 x2- 3 x+1

，
解得：

x1=2 3 y1=3

，

x2=- 3 y2=6

，
故此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

3

，6）．
綜上可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2

3

，3）或（-

3

，6）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，前兩問的求解比較簡單，難點(diǎn)在第三問，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線之間的距離相等找到點(diǎn)P的位置，另外不要忘記考慮點(diǎn)P與點(diǎn)C重合的情況造成漏解．