Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，P是邊AB（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)．過(guò)P作BC的垂線PR，R為垂足，∠PRB的平分線與AB相交于點(diǎn)S，在線段RS上存在一點(diǎn)T，若以線段PT為一邊作正方形PTEF，其頂點(diǎn)E，F(xiàn)恰好分別在邊BC，AC上．
（1）△ABC與△SBR是否相似，說(shuō)明理由；
（2）請(qǐng)你探索線段TS與PA的長(zhǎng)度之間的關(guān)系；
（3）設(shè)邊AB=1，當(dāng)P在邊AB（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)你探索正方形PTEF的面積y的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）三角形SBR和ABC中，有一個(gè)公共角B，都有一組直角，如果再有一組角相等即可證明兩三角形相似，SR平分∠BRP，那么∠BRS=45°=∠C，因此兩三角形的相似條件湊齊，兩三角形相似；
（2）應(yīng)該是相等關(guān)系，△STP和△APE中，PT=PF，又有一組直角，那么只要再有一組角相等即可得出全等，∠TPS+∠APF=180-90=90°，那么不難證得∠STP=∠APF，因此兩三角形全等，那么TS=PA；
（3）要求正方形FPTE的面積，那么就要求出它的邊長(zhǎng)．RS是等腰直角△PRS的高，那么BS=PS，PS=

1-PA

2

，由（2）證得的全等三角形中我們可得出PS=AF，如果設(shè)PA=x，我們就能用x表示出AF的值，直角三角形APF中，我們就能用x表示出PF²，也就得出了y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后確定x的取值范圍，x最小時(shí)x=PA=0此時(shí)P與A重合，S與T重合，E與R重合．x最大時(shí)，T與R重合，此時(shí)TS=BS=SP=PA，因此PA=

1

3

，那么x的范圍就是0≤x≤

1

3

，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和自變量的范圍求出y的最大和最小值．

解答：解：（1）△ABC∽△SBR
理由：∵RS是直角∠PRB的平分線，
∴∠PRS=∠BRS=45°．
在△ABC與△SBR中，∠C=∠BRS=45°，
∠B是公共角，
∴△ABC∽△SBR．

（2）線段TS的長(zhǎng)度與PA相等．
∵四邊形PTEF是正方形，
∴PF=PT，∠SPT+∠FPA=180°-∠TPF=90°，
在Rt△PFA中，∠PFA+∠FPA=90°，
∴∠PFA=∠TPS，
∴Rt△PAF≌Rt△TSP，∴PA=TS．
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使得T與R重合時(shí)，這時(shí)△PFA與△TSP都是等腰直角三角形且底邊相等，即有PA=TS．
由以上可知，線段ST的長(zhǎng)度與PA相等．

（3）由題意，RS是等腰Rt△PRB的底邊PB上的高，
∴PS=BS，∴BS+PS+PA=1，∴PS=

1-PA

2

．
設(shè)PA的長(zhǎng)為x，易知AF=PS，
則y=PF²=PA²+PS²，得y=x²+（

1-x

2

）²，
即y=

5

4

x2-

1

2

x+

1

4

，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x=

1

5

時(shí)，y有最小值為

1

5

．
如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)使得T與R重合時(shí)，PA=TS為最大．
易證等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR，
∴PA=

1

3

．
如圖3，當(dāng)P與A重合時(shí)，得x=0．
∴x的取值范圍是0≤x≤

1

3

．
∴①當(dāng)x的值由0增大到

1

5

時(shí)，y的值由

1

4

減小到

1

5

∴②當(dāng)x的值由

1

5

增大到

1

3

時(shí)，y的值由

1

5

增大到

2

9

．
∵

1

5

≤

2

9

≤

1

4

，
∴在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，正方形PTEF面積y的最小值是

1

5

，y的最大值是

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：平移、翻折和旋轉(zhuǎn)是初中幾何重要的三種變換方式，變換之后的幾何圖形與原圖形對(duì)應(yīng)的邊、角均相等．巧妙地運(yùn)用變換的基本性質(zhì)或構(gòu)造變換圖形，均可以使題目的解答簡(jiǎn)易而順暢．注意本題中求出二次函數(shù)后要討論出x的取值范圍然后再根據(jù)自變量的范圍求y的值．