Question

已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），B點(diǎn)在x軸上，C點(diǎn)在第一象限．
（1）求頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）以點(diǎn)B為中心，將等邊△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，則旋轉(zhuǎn)后的等邊三角形與原來(lái)的等邊三角形組成一個(gè)四邊形，求這個(gè)四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）求（2）中所得到的四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)及AB的長(zhǎng)，易求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而可結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)求得C點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）由于△ABC是等邊三角形，若旋轉(zhuǎn)角度為60°，那么CD∥AB，因此只需將點(diǎn)C向右平移AB個(gè)單位即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）顯然四邊形ABDC是菱形，那么它的對(duì)角線互相垂直平分，即可通過(guò)解直角三角形求得兩條對(duì)角線的長(zhǎng)．

解答：解：（1）如圖；
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），|AB|=6，
∴|OB|=8，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0）．（2分）
作CH⊥AB于H，∵|AH|=3，|AC|=6，
∴|CH|=

|AC|2-|AH|2

=

62-32

=

27

=3

3

．
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(5，3

3

)．（4分）

（2）以B為中心，將等邊△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，則A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C點(diǎn)，C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到D點(diǎn)，如右圖，則D點(diǎn)坐標(biāo)為(11，3

3

)．

（3）如右圖，∵|AB|=|BD|=|DC|=|CA|=6，
∴四邊形ABDC是菱形．
∵△ABC是等邊三角形，∴對(duì)角線|BC|=6．（6分）
連接AD，則AD⊥BC，若AD與BC交于M，則AM=

3

2

×6=3

3

．
∴|AD|=6

3

，即對(duì)角線BC=6，AD=6

3

．（8分）
（注：本題不畫(huà)圖不扣分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形等知識(shí)，難度適中．