Question

已知三角形ABC，AD為BC邊中線，P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作AD的平行線，交直線AB或延長線于點(diǎn)Q，交CA或延長線于點(diǎn)R．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)Q作BC的平行線交AD于E點(diǎn)，交AC于F點(diǎn)，求證：QE=EF；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：PQ+PR為定值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行線QF∥BC，可以推知△AQE∽△ABD，△AEF∽△ADC；然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求得

QE

BD

=

AE

AD

=

EF

DC

；再根據(jù)已知條件“AD為BC邊中線”來證明QE=EF；
（2）分類討論：
①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B（或點(diǎn)C）重合時(shí)，AD為△B（P）RC（或△C（P）BQ）的中位線，PQ+PR=2AD；
②當(dāng)點(diǎn)P在BD上（不與點(diǎn)B重合）運(yùn)動(dòng)時(shí)，由（1）證明可知，AE為△RQF的中位線，PQ+PR=2AD；
③當(dāng)點(diǎn)P在CD上（不與點(diǎn)C重合）運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ+PR=2AD．

解答：（1）證明：∵QF∥BC，
∴△AQE∽△ABD，△AEF∽△ADC．（1分）
∴

QE

BD

=

AE

AD

=

EF

DC

，
∵BD=DC，
∴QE=EF．（3分）

（2）解：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B（或點(diǎn)C）重合時(shí)，AD為△B（P）RC（或△C（P）BQ）的中位線，
∴PQ+PR=2AD．
當(dāng)點(diǎn)P在BD上（不與點(diǎn)B重合）運(yùn)動(dòng)時(shí)，由（1）證明可知，AE為△RQF的中位線，
∴RQ=2AE．
∵QF∥BC，PQ∥AD，
∴四邊形PQED為平行四邊形．
∴PQ=DE，
∴PQ+PR=2DE+QR=2DE+2AE=2AD．（5分）
同理可證，當(dāng)點(diǎn)P在CD上（不與點(diǎn)C重合）運(yùn)動(dòng)時(shí)，
PQ+PR=2AD．
∴P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ+PR為定值，
即PQ+PR=2AD．（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)．要注意的是（2）中，要根據(jù)P點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解．