Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA＝4，OC＝3，若拋物線經(jīng)過O，A兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)在BC邊上，點(diǎn)E的坐標(biāo)分別為（0，1），對稱軸交BE于點(diǎn)F．

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)M在對稱軸右側(cè)的拋物線上，點(diǎn)N在x軸上，請問是否存在以點(diǎn)A，F，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y＝﹣x2+3x；(2)見解析.

【解析】

1）利用矩形的性質(zhì)得A（4，0），C（0，3），B（4，3），再利用拋物線的對稱性得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），則可設(shè)交點(diǎn)式y=ax（x-4），然后把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可；
（2）先利用待定系數(shù)法求出，直線BE的解析式為y＝x+1，則可求出F（2，2），然后討論：當(dāng)AF為對角線時(shí)，利用FM∥AN得到M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，于是解方程﹣ x2+3x＝2可得到M點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)AF為邊時(shí)，若四邊形AFMN為平行四邊形，易得M點(diǎn)的坐標(biāo)；若四邊形AFNM為平行四邊形時(shí)，利用平行四邊形的性質(zhì)和點(diǎn)的平移規(guī)律得到M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2，則解方程-﹣ x2+3x＝﹣2可得M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）∵四邊形OABC為矩形，

∴AB＝OC＝3，BC＝OA＝4，

∴A（4，0），C（0，3），B（4，3），

∵拋物線的對稱軸平分BC，

而拋物線的頂點(diǎn)在BC上，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），

設(shè)拋物線的解析式為y＝ax（x﹣4），

把（2，3）代入得a2（﹣2）＝3，解得a＝﹣，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x（x﹣4），

即y＝﹣x2+3x；

（2）存在．

設(shè)直線BE的解析式為y＝kx+b，

把B（4，3），E（0，1）代入得，解得，

∴直線BE的解析式為y＝x+1，

當(dāng)x＝2時(shí)，y＝x+1＝2，則F（2，2），

當(dāng)AF為對角線時(shí)，FM∥AN，

∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，

當(dāng)y＝2時(shí)，﹣ x2+3x＝2，解得x1＝（舍去），x2＝，

此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，2）；

當(dāng)AF為邊時(shí)，若四邊形AFMN為平行四邊形，易得M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，2）；

若四邊形AFNM為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)F向下平移2個(gè)單位得到N點(diǎn)，則點(diǎn)A向下平移2個(gè)單位得到M點(diǎn)，

∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣2，

當(dāng)yspan>＝﹣2時(shí)，﹣ x2+3x＝﹣2，解得x1＝（舍去），x2＝，

此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣2），

綜上所述，符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，﹣2）或（，2）．