Question

如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，0）、（0，4），拋物線經(jīng)過B點(diǎn)．
（1）請寫出拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，線段CD下方的拋物線上有一個動點(diǎn)M．過點(diǎn)M作MN平行于y軸交CD于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，MN的長度為l．求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求l取最大值時，點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵拋物線經(jīng)過B點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，4），
∴4=0-0+c，即c=4，
∴該拋物線的解析式為：；

（2）∵A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，0）、（0，4），
∴OA=3，OB=4，
在Rt△ABO中，根據(jù)勾股定理知，AB===5．
假設(shè)點(diǎn)C、D都在拋物線．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0）；
當(dāng)x=5時，y=×5²-×5+4=4，
當(dāng)x=2時，y=×2²-×2+4=0，
∴點(diǎn)C和點(diǎn)D在所求拋物線上；

（3）設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）．
則，
解得，，
故直線CD的解析式為y=x-．
∵M(jìn)N∥y軸，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，
∴N點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為t；
則y_M=×t²-t+4，y_N=t-．
∴l(xiāng)=y_N-y_M=t--（×t²-t+4）=-（t-）²+．
∵-＜0，
∴當(dāng)t=時，l_最大=，此時y_M=×（）²-×+4=．
此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．
分析：（1）已知拋物線上B點(diǎn)的坐標(biāo)以及拋物線方程，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）首先求出AB的長，將A、B的坐標(biāo)向右平移AB個單位，即可得出C、D的坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可．
（3）根據(jù)C、D的坐標(biāo)，易求得直線CD的解析式；那么線段MN的長實(shí)際是直線BC與拋物線的函數(shù)值的差，可將x=t代入兩個函數(shù)的解析式中，得出的兩函數(shù)值的差即為l的表達(dá)式，由此可求出l、t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出l取最大值時，點(diǎn)M的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)綜合題，其中涉及到的知識點(diǎn)有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，圖象的平移變換，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識．在設(shè)一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b時，不要漏掉k≠0這一條件．