Question

已知點A(－1，－1)在拋物線y＝(k²－1)x²－2(k－2)x＋1上．(1)求拋物線的對稱軸；(2)若B點與A點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，問是否存在與拋物線只交于一點B的直線？如果存在，求符合條件的直線；如果不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

思路點撥：由點在拋物線上，則點的坐標(biāo)適合拋物線的解析式，求得k，用配方法得到拋物線的對稱軸．根據(jù)對稱性求得點B的坐標(biāo)，由直線與拋物線的位置關(guān)系的特征求出過點B的直線方程． 　　評注：這是一道考查拋物線有關(guān)性質(zhì)及直線與拋物線位置關(guān)系的綜合題． 　　由于此題中拋物線的對稱軸平行于y軸，又由于A點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點是B，所以它們的縱坐標(biāo)相同，A、B兩點連線的中點在對稱軸上，所以＝－，即xB＝－，故點B的坐標(biāo)為B(－，－1)． 　　直線與拋物線相切，有且只有一個公共點，直線與拋物線解析式聯(lián)立得到的方程組有且只有一個解，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程有且只有一個解，即可得到方程判別式為零的關(guān)系式．另外，由于拋物線上的向上或向下離拋物線對稱軸越來越遠(yuǎn)，故平行于拋物線的對稱包括對稱軸的直線與拋物線也有只有一個公共點，這是拋物線又一重要特征．