Question

已知兩個全等的直角三角形紙片ABC、DEF，如圖1放置，點B、D重合，點F在BC上，AB與EF交于點G．∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=m°，AC=DF=4，BC=EF=7．若紙片DEF不動．

（1）在圖1中，連接AE，則直角梯形ACFE的腰長CF=

 

、AE=

 

；
（2）將△ABC作平移或旋轉或軸對稱變換后，使得△ABC與△DEF組合成矩形．在備用圖1中畫出△ABC每一次變換后的圖形，若是平移，請寫出平移的方向與距離；若是旋轉，請寫出旋轉中心與旋轉角度；若是軸對稱，要指明它的對稱軸；
（3）在圖1中，將△ABC繞點F逆時針旋轉，當旋轉角∠BFD（0°＜∠BFD＜180°）為多少度時，直角三角形ABC的直角邊與DE平行，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AE，作AH⊥FE于H，構造直角三角形EAH，利用勾股定理解答；
（2）將△ABC以點B為旋轉中心順時針旋轉360°-m°，再以點B為旋轉中心，使點C與點C′重合；
（3）根據(jù)直角三角形的性質及平行線的判定解答．

解答：解：（1）根據(jù)題意，梯形ACFE中，CF=BC-FB=7-4=3；
作AH⊥FB與H，
則AH=CF=3，HE=FE-AC=7-4=3，
在Rt△AHE中，AE=

AH2+HE2

=

32+32

=3

2

．
故答案為：3，3

2

；

（2）將△ABC以BC為對稱軸，作軸對稱變換，然后以點B為旋轉中心，順時針旋轉，使點A與點E重合即可；

（3）由圖可知，旋轉角∠BFD與∠B′是同位角，當∠BFD=∠B′=（90-m）度時，兩直線平行．

點評：此題主要考查了旋轉的性質，同時涉及勾股定理、平行線的判定、旋轉等內容，綜合性較強．