Question

【題目】如圖1，點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm／s。

⑴連接AQ、CP交于點(diǎn)M，在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CMQ的大小變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出它的度數(shù)；

⑵點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為直角三角形？

⑶如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線(xiàn)AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線(xiàn)AQ、CP交點(diǎn)為M，則∠CMQ的大小變化嗎？則說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出它的度數(shù)。

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，所以AP=BQ．AB=AC，∠B=∠CAP=60°，因而運(yùn)用邊角邊定理可知△ABQ≌△CAP．再用全等三角形的性質(zhì)定理及三角形的角間關(guān)系、三角形的外角定理，可求得CQM的度數(shù)；

（2）設(shè)時(shí)間為t，則AP=BQ=t，PB=4-t．分別就①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)；②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)利用直角三角形的性質(zhì)定理求得t的值；

（3）首先利用邊角邊定理證得△PBC≌△QCA，再利用全等三角形的性質(zhì)定理得到∠BPC=∠MQC．再運(yùn)用三角形角間的關(guān)系求得∠CMQ的度數(shù)．

試題解析：（1）∠CMQ不變．

AC="BA," ∠A=∠B, AP="BQ,"

∴△ACP≌△BAQ, ∴∠ACP=∠BAQ,

∴∠CMQ=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．

∴∠CMQ恒等于60°，不發(fā)生變化．

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)了t秒

當(dāng)△PBQ為Rt三角形時(shí) ∠B="60°"

①當(dāng)∠BPQ=30°時(shí) ∴PB="AB-BP=4-t=2BQ=2t" 解得t=

②當(dāng)∠PQB=30°時(shí) 則BQ=t=2PB=2（AB-AP）=2（4-t） 解得t=

（3）∠CMQ不變．

∵AC=CB,∠ACQ=120°=∠CBP, CQ="BP,"

∴△ACQ≌△CBP, ∴∠CAQ=∠BCP,

∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACM=∠BCP+∠ACM=∠MCQ+∠ACM=∠ACQ=120°．

∴∠CMQ恒等于120°，不會(huì)發(fā)生變化．