Question

B題（油田考生做）如圖，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（1，0），B（0，1）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)y=

1

2x

（x＞0）上任意一點(diǎn)，PM⊥x軸，PN⊥y軸，垂足分別為M、N，PM、PN的延長(zhǎng)線(xiàn)與直線(xiàn)AB分別交于點(diǎn)E、F．
（1）求證：AF•BE=1；
（2）若平行于A(yíng)B的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，求公共點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）本題可通過(guò)構(gòu)建直角三角形來(lái)表示出AF，BE的長(zhǎng)，過(guò)E，F(xiàn)分別作y軸，x軸的垂線(xiàn)，設(shè)垂足為D，C，那么△DBE和△FCA均為等腰直角三角形，因此AF=

2

FC，BE=

2

DE，而DE、FC正好是P點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，由此可得證．
（2）易知直線(xiàn)AB的解析式為y=-x+1，因此可設(shè)所求直線(xiàn)的解析式為y=-x+h，然后聯(lián)立雙曲線(xiàn)的解析式，由于兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，因此得出的方程根的判別式的值為0，由此可求出直線(xiàn)的解析式進(jìn)而可得出公共點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：證明：（1）由直線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（1，0），B（0，1）兩點(diǎn)，可得AB的解析式為y=-x+1，
過(guò)E作ED⊥y軸于D，過(guò)F作FC⊥x軸于C，則△FCA和△BDE均為等腰直角三角形．
∴AF=

2

FC，BE=

2

DE
∴AF•BE=2•FC•DE
根據(jù)雙曲線(xiàn)的解析式知：FC•DE=PM•PN=

1

2

∴AF•BE=1．

（2）易知：直線(xiàn)AB的解析式為y=-x+1，
因此設(shè)平行AB的直線(xiàn)l的解析式為y=-x+h，
設(shè)兩函數(shù)唯一的公共點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），
則有：

y=-x+h y= 1 2x

，
即2x²-2hx+1=0，且△=4h²-8=0．
∴h=

2

（負(fù)值舍去），
∴x=

2

2

，y=

2

2

∴Q（

2

2

，

2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)以及二次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的能力．