Question

有一種汽車用“千斤頂”，它由4根連桿組成菱形ABCD，當螺旋裝置順時針旋轉(zhuǎn)時，B、D兩點的距離變小，從而頂起汽車．若AB=30，螺旋裝置每順時針旋轉(zhuǎn)1圈，BD的長就減少1．設(shè)BD=a，AC=h，
（1）當a=40時，求h值；
（2）從a=40開始，設(shè)螺旋裝置順時針方向旋轉(zhuǎn)x圈，求h關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）從a=40開始，螺旋裝置順時針方向連續(xù)旋轉(zhuǎn)2圈，設(shè)第1圈使“千斤頂”增高s₁，第2圈使“千斤頂”增高s₂，試判定s₁與s₂的大小，并說明理由；若將條件“從a=40開始”改為“從某一時刻開始”，則結(jié)果如何，為什么？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的兩條對角線垂直且平分的性質(zhì)，然后根據(jù)勾股定理，即可求出h值．
（2）首先知道螺旋裝置順時針方向旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)與BD之間的關(guān)系，然后用勾股定理，就可求出h與x之間的函數(shù)關(guān)系．
（3）此問首先要搞清楚增高的s是指AC增高了s，根據(jù)第2問的函數(shù)關(guān)系進行推算，就可知道s₁與s₂的大小關(guān)系．

解答：解：（1）連AC交BD于O，
∵ABCD為菱形，
∴∠AOB=90°，OA=

h

2

，OB=20，（3分）
在Rt△AOB中，
∵AO²+BO²=AB²，
即（

h

2

）²+20²=30²，
∴h=20

5

；（2分）

（2）從a=40開始，螺旋裝置順時針方向旋轉(zhuǎn)x圈，則BD=40-x，（2分）
∴（

h

2

）²+（

40-x

2

）²=30²，
∴h=

602-(40-x)2

；（2分）
（3）結(jié)論：s₁＞s₂．
在h=

602-(40-x)2

中，
令x=0得，h₀=

602-402

≈44.721；
令x=1得，h₁=

602-392

≈45.596；
令x=2得，h₂=

602-382

≈46.435；
∴s₁=h₁-h₀≈0.88，s₂=h₂-h₁≈0.84，
∴s₁＞s₂；（3分）
也可以如下比較s₁、s₂的大小：
∵s1=

602-392

-

602-402

=

(602-392)-(602-402)

602-392 + 602-402

=

79

99×21 + 100×20

s2=

602-382

-

602-392

=

(602-382)-(602-392)

602-382 + 602-392

=

77

98×22 + 99×21

而79＞77，

100×20

＜

98×22

∴s₁＞s₂；（3分）
若將條件“從a=40開始”改為“從任意時刻開始”，則結(jié)論s₁＞s₂仍成立．
∵s1=

602-(a-1)2

-

602-a2

=

2a-1

602-(a-1)2 + 602-a2

，
s2=

602-(a-2)2

-

602-(a-1)2

=

2a-3

602-(a-2)2 + 602-(a-1)2

，
而2a-1＞2a-3，

602-a2

＜

602-(a-2)2

∴s₁＞s₂．（2分）

點評：菱形的性質(zhì)是中考常見的一個考點，將其與勾股定理綜合使用，是解決相似題型的常用方法．