Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（4，0）與y軸交于點C，點D與點C關于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線1，交拋物線與點Q．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點P在線段OB上運動時，直線1交BD于點M，試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形；

（3）在點P運動的過程中，坐標平面內是否存在點Q，使△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 當m＝2時，四邊形CQMD為平行四邊形;(3) Q1（8，18）、Q2（﹣1，0）、Q3（3，﹣2）

【解析】

（1）直接將A（-1，0），B（4，0）代入拋物線y=x2+bx+c方程即可；
（2）由（1）中的解析式得出點C的坐標C（0，-2），從而得出點D（0，2），求出直線BD：y＝x+2，設點M(m，m+2)，Q(m，m2m2)，可得MQ=m2+m+4，根據(jù)平行四邊形的性質可得QM=CD=4，即m2+m+4＝4可解得m=2；
（3）由Q是以BD為直角邊的直角三角形，所以分兩種情況討論，①當∠BDQ=90°時，則BD2+DQ2=BQ2，列出方程可以求出Q1（8，18），Q2（-1，0），②當∠DBQ=90°時，則BD2+BQ2=DQ2，列出方程可以求出Q3（3，-2）．

（1）由題意知，

∵點A（﹣1，0），B（4，0）在拋物線y＝x2+bx+c上，

∴解得：

∴所求拋物線的解析式為

（2）由（1）知拋物線的解析式為，令x＝0，得y＝﹣2

∴點C的坐標為C（0，﹣2）

∵點D與點C關于x軸對稱

∴點D的坐標為D（0，2）

設直線BD的解析式為：y＝kx+2且B（4，0）

∴0＝4k+2，解得：

∴直線BD的解析式為：

∵點P的坐標為（m，0P作x軸的垂線1，交BD于點M，交拋物線與點Q

∴可設點M，Q

∴MQ＝

∵四邊形CQMD是平行四邊形

∴QM＝CD＝4，即=4

解得：m1＝2，m2＝0（舍去）

∴當m＝2時，四邊形CQMD為平行四邊形

（3）由題意，可設點Q且B（4，0）、D（0，2）

∴BQ2＝

DQ2＝

BD2＝20

①當∠BDQ＝90°時，則BD2+DQ2＝BQ2，

∴

解得：m1＝8，m2＝﹣1，此時Q1（8，18），Q2（﹣1，0）

②當∠DBQ＝90°時，則BD2+BQ2＝DQ2，

∴

解得：m3＝3，m4＝4，（舍去）此時Q3（3，﹣2）

∴滿足條件的點Q的坐標有三個，分別為：Q1（8，18）、Q2（﹣1，0）、Q3（3，﹣2）．