Question

（1997•陜西）已知關于x的方程（m-1）x²+2mx-1=0有正實數根，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析：討論：當m-1=0，即m=1時，可解得x=

1

2

；當m-1≠0，即m≠1，設方程的兩實數根為x₁，x₂，根據根的判別式得到△=4m²-4（m-1）×（-1）≥0，可解得x≤

-1- 5

2

或x≥

-1+ 5

2

；
根據根與系數的關系得到x₁+x₂=-

2m

m-1

＞0，x₁•x₂=-

1

m-1

＞0，由于m-1＜0，則2m＞0，于是0＜m＜1，然后縱綜合兩種情況即可得到m的范圍．

解答：解：當m-1=0，即m=1時，方程變形為2x-1=0，解得x=

1

2

；
當m-1≠0，即m≠1，
設方程的兩實數根為x₁，x₂，
根據題意得△=4m²-4（m-1）×（-1）≥0，即m²+m-1≥0，解得x≤

-1- 5

2

或x≥

-1+ 5

2

；
x₁+x₂=-

2m

m-1

＞0，x₁•x₂=-

1

m-1

＞0，
∴m-1＜0，
∴2m＞0，
∴0＜m＜1，
∴當

-1+ 5

2

≤x＜1時，方程有兩個正實數根，
綜上述，m的范圍為

-1+ 5

2

≤x≤1．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的根與系數的關系．