Question

如圖，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四邊形CDEF是正方形，連接AF、BD．
（1）觀察圖形，猜想AF與BD之間有怎樣的關系，并證明你的猜想；
（2）若將正方形CDEF繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使正方形CDEF的一邊落在△ABC的內(nèi)部，請你畫出一個變換后的圖形，并對照已知圖形標記字母，題（1）中猜想的結(jié)論是否仍然成立？若成立，直接寫出結(jié)論，不必證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：一般線段的關系有數(shù)量關系和位置關系，此題AF與DB的關系是AF=BD且AF⊥BD，要證明它們可以利用等腰直角三角形性質(zhì)和正方形的性質(zhì)構造全等條件證明△ACF≌△BCD，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以解決題目的問題．
解答：解：（1）猜想：AF=BD且AF⊥BD．（1分）
證明：設AF與DC交于點G．
∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，
∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，
∴∠BCD=∠ACF．
∴△ACF≌△BCD．
∴AF=BD．（4分）
∴∠AFC=∠BDC．
∵∠AFC+∠FGC=90°，∠FGC=∠DGA，
∴∠BDC+∠DGA=90度．
∴AF⊥BD．（7分）
∴AF=BD且AF⊥BD．

（2）結(jié)論：AF=BD且AF⊥BD．
圖形不惟一，只要符合要求即可．
畫出圖形得（1分），寫出結(jié)論得（1分），此題共（2分）．如：
①CD邊在△ABC的內(nèi)部時；②CF邊在△ABC的內(nèi)部時．
點評：此題是開放性試題，要求學生對等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)比較熟練，發(fā)揮它們的作用構造全等三角形的全等條件，然后利用全等三角形的性質(zhì)解題．