Question

在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CD交AD于點(diǎn)E，將線(xiàn)段EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段EF（如圖1）
（1）在圖1中畫(huà)圖探究：
①當(dāng)P₁為射線(xiàn)CD上任意一點(diǎn)（P₁不與C重合）時(shí)，連接EP₁；繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段EG₁．判斷直線(xiàn)FG₁與直線(xiàn)CD的位置關(guān)系，并加以證明；
②當(dāng)P₂為線(xiàn)段DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上任意一點(diǎn)時(shí)，連接EP₂，將線(xiàn)段EP₂繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段EG₂．判斷直線(xiàn)G₁G₂與直線(xiàn)CD的位置關(guān)系，畫(huà)出圖形并直接寫(xiě)出你的結(jié)論．
（2）若AD=6，tanB=

4

3

，AE=1，在①的條件下，設(shè)CP₁=x，S_△P1FG1=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．

Answer 1

（1）①直線(xiàn)FG₁與直線(xiàn)CD的位置關(guān)系為互相垂直．
證明：如圖1，設(shè)直線(xiàn)FG₁與直線(xiàn)CD的交點(diǎn)為H．
∵線(xiàn)段EC、EP₁分別繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°依次得到線(xiàn)段EF、EG₁，
∴∠P₁EG₁=∠CEF=90°，EG₁=EP₁，EF=EC．
∵∠G₁EF=90°-∠P₁EF，∠P₁EC=90°-∠P₁EF，
∴∠G₁EF=∠P₁EC．
∴△G₁EF≌△P₁EC．
∴∠G₁FE=∠P₁CE．
∵EC⊥CD，
∴∠P₁CE=90°，
∴∠G₁FE=90度．
∴∠EFH=90度．
∴∠FHC=90度．
∴FG₁⊥CD．
②按題目要求所畫(huà)圖形見(jiàn)圖1，
∵FG₁⊥CD，
∴直線(xiàn)G₁G₂與直線(xiàn)CD的位置關(guān)系為互相垂直．

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠ADC．
∵AD=6，AE=1，tanB=

4

3

，
∴DE=5，tan∠EDC=tanB=

4

3

．
可得CE=4．
由（1）可得四邊形EFHC為正方形．
∴CH=CE=4．
①如圖2，當(dāng)P₁點(diǎn)在線(xiàn)段CH的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，
∵FG₁=CP₁=x，P₁H=x-4，
∴S_△P1FG1=

1

2

×FG₁×P₁H=

x(x-4)

2

．
∴y=

1

2

x²-2x（x＞4）．
②如圖3，當(dāng)P₁點(diǎn)在線(xiàn)段CH上（不與C、H兩點(diǎn)重合）時(shí)，
∵FG₁=CP₁=x，P₁H=4-x，
∴S_△P1FG1=

1

2

×FG₁×P₁H=

x(4-x)

2

．
∴y=-

1

2

x²+2x（0＜x＜4）．
③當(dāng)P₁點(diǎn)與H點(diǎn)重合時(shí)，即x=4時(shí)，△P₁FG₁不存在．
綜上所述，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍是y=

1

2

x²-2x（x＞4）或y=-

1

2

x²+2x（0＜x＜4）．