Question

已知反比例函數(shù)y=和一次函數(shù)y=2x-1，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（a，b），（a+k，b+k+2）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的解析式？
（2）已知A在第一象限，是兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，求A點(diǎn)坐標(biāo)？
（3）利用②的結(jié)果，請(qǐng)問(wèn)：在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）把（a，b），（a+k，b+k+2）代入一次函數(shù)的解析式，得出方程組，求出k即可；
（2）解由反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式組成發(fā)的方程組，求出方程組的解即可；
（3）根據(jù)等腰三角形的判定，有三種情況：①當(dāng)OA=OP時(shí)，有2個(gè)點(diǎn)符合；②當(dāng)OA=AP時(shí)，有1個(gè)點(diǎn)符合；③當(dāng)AP=OP時(shí)，有1個(gè)點(diǎn)符合．
解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=2x-1的圖象經(jīng)過(guò)（a，b），（a+k，b+k+2）兩點(diǎn)，
代入得：，
解得：k=2，
代入反比例函數(shù)的解析式得：y==，
∴反比例函數(shù)的解析式是y=．

（2）解方程組
得：，，
∴兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)是（-，-2），（1，1），
∵交點(diǎn)A在第一象限，
∴A（1，1）．

（3）在x軸上存在點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，
理由是：分為三種情況：①以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑作圓，交x軸于兩點(diǎn)C、D，此時(shí)OA=0C=0D，
∴當(dāng)P于C或D重合時(shí)，△AOP是等腰三角形，此時(shí)P的坐標(biāo)是（，0），（-，0）；
②以A為圓心，以O(shè)A為半徑作圓，交x軸于兩點(diǎn)E，此時(shí)OA=AE，
∴當(dāng)P于E重合時(shí)，△AOP是等腰三角形，此時(shí)P的坐標(biāo)是（2，0）；
③作OA的垂直平分線交x軸于F，此時(shí)AF=OF，
∴當(dāng)P于F重合時(shí)，△AOP是等腰三角形，此時(shí)P的坐標(biāo)是（1，0）；
∴存在4個(gè)點(diǎn)P，使△AOP是等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想，題目比較好，有一定的難度．