【題目】四邊形ABCD為菱形,點E在邊AD上,點F在邊CD

(1) AE=CF,求證:EB=BF

(2) AD=4,DE=CF,且EFB為等邊三角形,求四邊形DEBF的面積

(3) 若∠DAB=60°,點H在邊BC上,且BH=HC=2.若∠DFA=2HAB,直接寫出CF的長

【答案】1)見解析;(2S四邊形DEBF=;(3;

【解析】

1)因為四邊形ABCD為菱形,得出AB=BC,∠EAB=FBC,又由AE=CF,得出△ABE≌△BCFSAS),進而得出EB=BF.

2)連接BD,截取AH=CF,由(1)中得知,△ABE≌△BCF(SAS),得出BH=BF=BE,進而可知∠BHE=∠BEH,∠AHB=∠BED,從而可判定△DEB≌△AHB,得出AB=BD,可判定△DEB≌△CFB,進而得出四邊形DEBF的面積等于菱形ABCD面積減去三角形ABD面積,即為三角形ABD的面積,即可得解.

(3)延長AD,作FM⊥AM,交于M,延長DC、AH交于點K,由∠DFA=2∠HAB=∠FAK+∠HAB,可得出∠FAK=∠HAB=∠FKA,進而得出AF=FK,因此DF=4-CF,DM=2-CF,MF=(4-CF),進而得出AM=4+2-CF=6-CF,根據(jù)勾股定理,

進而得出關于CF的方程,即可求出CF.

1 證明:∵四邊形ABCD為菱形,

AB=BC,∠EAB=∠FBC,

又∵AE=CF,

∴△ABE≌△BCF(SAS)

∴EB=BF.

(2)如圖所示,連接BD,截取AH=CF

由(1)中得知,△ABE≌△BCF(SAS)

∴BH=BF=BE

∴∠BHE=∠BEH

∴∠AHB=∠BED

∴△DEB≌△AHB,

∴AB=BD

∴△DEB≌△CFB,

∴四邊形DEBF的面積等于菱形ABCD面積減去三角形ABD面積,即為三角形ABD的面積,

S四邊形DEBF==

3)如圖所示,延長AD,作FM⊥AM,交于M,延長DC、AH交于點K

∵∠DFA=2∠HAB=∠FAK+∠HAB

∴∠FAK=∠HAB=∠FKA

∴AF=FK

∴DF=4-CF,DM=2-CF,MF=(4-CF),

∴AM=4+2-CF=6-CF

∴CF=

練習冊系列答案
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