Question

【題目】直線y=﹣ x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，菱形ABCD如圖放置在平面直角坐標系中，其中點D在x軸負半軸上，直線y=x+m經(jīng)過點C，交x軸于點E．
①請直接寫出點C、點D的坐標，并求出m的值；
②點P（0，t）是線段OB上的一個動點（點P不與0、B重合），
經(jīng)過點P且平行于x軸的直線交AB于M、交CE于N．設(shè)線段MN的長度為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量的取值范圍）；
③當t=2時，線段MN，BC，AE之間有什么關(guān)系？（寫出過程）

Answer 1

【答案】解：①∵直線y=﹣ x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴點A的坐標為（3，0）點B的坐標為（0，4），
∵四邊形ABCD是菱形，
∵直線y=x+m經(jīng)過點C，
∴m=9，
②∵MN 經(jīng)過點P（0，t）且平行于x軸，
∴可設(shè)點M的坐標為（xM ， t），點N的坐標為（xN ， t），
∵點M在直線AB上，
直線AB的解析式為y=﹣ x+4，
∴t=﹣ xM+4，得xM=﹣ t+3，
同理點N在直線CE上，直線CE的解析式為y=x+9，
∴t=xN+9，得xN=t﹣9，
∵MN∥x軸且線段MN的長度為d，
∴d=xM﹣xN=﹣ t+3﹣（t﹣9）=﹣ t+12（0≤t≤4）
③MN= （BC+AE）．
理由：當t=2時，P（0，2），
∴OP=2，
∵OB=4，
∴點P是OB中點，
∵MN∥x軸，
∴MN是梯形ABCE的中位線，
∴MN= （BC+AE）．
【解析】①由直線的解析式可求出A和B點的坐標，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求出點C、點D的坐標，把點C的坐標代入直線y=x+m即可求出m的值；②設(shè)點M的坐標為（xM ， t），點N的坐標為（xN ， t），首先求出xM=﹣ t+3，再求出xN=t﹣9，進而得到d=xM﹣xN=﹣ t+3﹣（t﹣9）=﹣ t+12；③先求出點P的坐標，進而得出點P是OB中點，即可得出MN是梯形ABCE的中位線即可得出結(jié)論．