（2012•北塘區(qū)一模）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(
5
2
，-
27
16
)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1，0），若此拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A，設(shè)P、Q分別為AB、OB邊上的動(dòng)點(diǎn)，它們同時(shí)分別從點(diǎn)A、O向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，速度均為每秒1個(gè)單位，設(shè)P、Q移動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤4）
（1）求此拋物線的解析式并求出P點(diǎn)的坐標(biāo)（用t表示）；
（2）當(dāng)△OPQ面積最大時(shí)求△OBP的面積；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△OPQ為直角三角形？
（4）△OPQ是否可能為等邊三角形？若可能請(qǐng)求出t的值；若不可能請(qǐng)說(shuō)明理由，并改變點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度，使△OPQ為等邊三角形，求出此時(shí)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度和此時(shí)t的值．
分析：（1）將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，再將C點(diǎn)坐標(biāo)代入該解析式中，即可求得待定系數(shù)的值．求解P點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可過(guò)P作y軸的垂線，通過(guò)構(gòu)建的相似三角形求出P點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)．
（2）在（1）中求得P點(diǎn)坐標(biāo)，以O(shè)Q為底、P點(diǎn)縱坐標(biāo)為高求出關(guān)于△OPQ的面積和t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)求出△OPQ的面積最大值時(shí)，對(duì)應(yīng)的t值；由此能得到AP的長(zhǎng)，△OPB和△AOB中，若以BP、AB為底，那么它們的高相同，底的比就是面積的比，由此得解．
（3）此題分兩種情況：∠OQP=90°或∠OPQ=90°；第一種情況，PQ∥y軸，利用相應(yīng)的比例線段即可求出t的值；后一種情況可利用勾股定理來(lái)進(jìn)行求解．
（4）若△OPQ為等邊三角形，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度必須滿足OQ等于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍（P點(diǎn)在線段OQ的中垂線上），然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出對(duì)應(yīng)的t值．
解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-
5
2
）2-
27
16
，代入點(diǎn)（1，0），得：a=
3
4
；
∴y=
3
4
（x-
5
2
）2-
27
16
．
令y=0得：x1=4，x2=1，∴B（4，0）．
令x=0得：y=3，∴A（0，3），AB=5．
如右圖，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸，垂足為點(diǎn)M，則：
AM
AO
=
PM
OB
=
AP
AB
，得：
AM
3
=
PM
4
=
t
5

∴AM=
3
5
t，PM=
4
5
t
∴P（
4
5
t，3-
3
5
t）．

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸，垂足為點(diǎn)N，
S△OPQ=
1
2
OQ•PN=
1
2
t•（3-
3
5
t）=
3
2
t-
3
10
t2=-
3
10
（t-
5
2
）2+
15
8

∴當(dāng)t=
5
2
時(shí)，S△OPQ最大=
15
8
．
此時(shí)OP為AB邊上的中線
∴S△OBP=
1
2
S△AOB=
1
2
×
1
2
×3×4=3．

（3）若∠OQP=90°，則
BP
AB
=
BQ
BO
，
∴
5-t
5
=
4-t
4
，得t=0（舍去）．
若∠OPQ=90°，則OP2+PQ2=OQ2，
∴（3-
3
5
t）2+（
4
5
t）2+（3-
3
5
t）2+（
1
5
t）2=t2
解得：t1=3，t2=15（舍去）．
當(dāng)t=3時(shí)，△OPQ為直角三角形．

（4）∵OP2=（3-
3
5
t）2+（
4
5
t）2，PQ2=（3-
3
5
t）2+（
1
5
t）2；
∴OP≠PQ，
∴△OPQ不可能是等邊三角形．
設(shè)Q點(diǎn)的速度為每秒k個(gè)單位時(shí)，△OPQ為等邊三角形
∴kt=2•
4
5
t，得 k=
8
5

∵PN=
3
2
OP=
3
2
•
8
5
t=
4
3
5
t
∴3-
3
5
t=
4
3
5
t，得t=
20
3
-15
13
．
點(diǎn)評(píng)：該題的難度較大，綜合了二次函數(shù)、直角三角形與等邊三角形的判定、圖形面積的求法等知識(shí)．在解答（3）題時(shí)，要注意直角三角形的直角并沒(méi)有確定，要分類進(jìn)行討論．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•北塘區(qū)一模）定義：若拋物線的頂點(diǎn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”．如圖，直線l：y=
1
3
x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0，
1
4
），一組拋物線的頂點(diǎn)B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n為正整數(shù)），依次是直線l上的點(diǎn)，這組拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n為正整數(shù)）．若x1=d（0＜d＜1），當(dāng)d為（　�。⿻r(shí)，這組拋物線中存在美麗拋物線．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•北塘區(qū)一模）2011年末中國(guó)總?cè)丝?34735萬(wàn)人，用科學(xué)記數(shù)法表示為
1.35×105
1.35×105
萬(wàn)人．（保留三位有效數(shù)字）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•北塘區(qū)一模）如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形的紙片對(duì)折兩次，然后剪下一個(gè)角，正好得到一個(gè)完整的菱形．要使得這個(gè)菱形的一個(gè)銳角為60°，則剪口與折痕所成的角α的度數(shù)應(yīng)為
30°或60°
30°或60°
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•北塘區(qū)一模）（1）(-1)2012-|-7|+
9
×(3-π)0+cos60°；
（2）先化簡(jiǎn)分式，再求值：
x+1
x
÷(x-
1+x2
2x
)，其中x=3．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•北塘區(qū)一模）某班師生組織植樹(shù)活動(dòng)，上午8時(shí)從學(xué)校出發(fā)，到植樹(shù)地點(diǎn)后原路返校，如圖為師生離校路程s與時(shí)間t之間的圖象．請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

（1）問(wèn)師生何時(shí)回到學(xué)校？
（2）如果運(yùn)送工具的三輪車比師生遲半小時(shí)出發(fā)，與師生同路勻速前進(jìn)，早半個(gè)小時(shí)到達(dá)植樹(shù)地點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中，畫(huà)出該三輪車離校路程s與時(shí)間t之間的圖象，并結(jié)合圖象直接寫出三輪車追上師生時(shí)離學(xué)校的路程；
（3）如果師生騎自行車上午8時(shí)出發(fā)，到植樹(shù)地點(diǎn)后，植樹(shù)需2小時(shí)，要求13時(shí)至14時(shí)之間返回學(xué)校，往返平均速度分別為每小時(shí)8km、6km．試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明植樹(shù)點(diǎn)選在距離學(xué)校多遠(yuǎn)較為合適．

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同步練習(xí)冊(cè)答案