Question

如圖，正方形ABCD內(nèi)有兩條相交線段MN，EF，M，N，E，F(xiàn)分別在邊AB，CD，AD，BC上．小明認(rèn)為：若MN=EF，則MN⊥EF；小亮認(rèn)為：若MN⊥EF，則MN=EF．你認(rèn)為（ ）

A．僅小明對(duì)
B．僅小亮對(duì)
C．兩人都對(duì)
D．兩人都不對(duì)

Answer 1

【答案】分析：若MN=EF，先構(gòu)造出以MN與EF為斜邊的直角三角形，然后證明兩直角三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，結(jié)合圖象可以證明出EF與MN垂直；第一個(gè)圖中的線段EF沿直線EG折疊過去，得到的就是反例，此時(shí)有MN=EF，但是MN與EF肯定不垂直，因此小明的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的；
若MN⊥EF，則MN=EF，分別把MN和EF平移，然后根據(jù)三角函數(shù)即可得出結(jié)論．
解答：解：①若MN=EF，則必有MN⊥EF，這句話是正確的．
如圖，∵EF=MN，MH=EG，
∴Rt△MHN≌Rt△EGF（HL），
∴∠EFG=∠MNH，
又∵∠EFG=∠ELM，
∴∠NMH+∠MNH=∠NMH+∠EFG=∠NMH+∠ELM=90°，
∴∠MOL=90°，
即MN⊥EF．
第一個(gè)圖中的線段EF沿直線EG折疊過去，得到的就是反例，此時(shí)有MN=EF，但是MN與EF肯定不垂直，因此小明的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的；

②若MN⊥EF，則MN=EF這句話是對(duì)的；
分別把MN和EF平移，如圖，
∠AMN=∠AGD=∠BFE=∠DHC，
MN=GD=AD÷sin∠AGD，
EF=HC=CD÷sin∠DHC，
因此MN=EF．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，本題如圖所示起到關(guān)鍵的作用，沒有圖形的限制，則第一種情況不一定正確．