Question

已知：如圖，是⊙的直徑，是⊙外一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，交的延長線于點(diǎn),的延長線與⊙交于點(diǎn)，．

（1）求證：是⊙的切線；
（2）若，⊙的半徑為，求的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）．

試題分析：（1）連接OC，若要證明DC是⊙O的切線，則可轉(zhuǎn)化為證明∠DCO=90°即可；
（2）設(shè)AD=k，則AE=，ED=2k，利用勾股定理計(jì)算即可．
試題解析：（1）證明：連結(jié)OC，

∵DE=DC，
∴∠4=∠E，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
又∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴∠4+∠1=∠E+∠3=90°，
∴DC是⊙O的切線；
（2）∵∠4=∠E，
∴，
設(shè)AD=k，則AE=k，ED=2k，
∴DC=2k，
在Rt△OCD中，
由勾股定理得：OD²=DC²+OC²，
∴(+k)²=(2k)²+²，
∴k=0(舍)，k=，
∴AE=k=
考點(diǎn): 1.切線的判定；2.解直角三角形；3.勾股定理．