Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（﹣1，0），與y軸相交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P是該圖象上的動(dòng)點(diǎn)；一次函數(shù)y=kx﹣4k（k≠0）的圖象過點(diǎn)P交x軸于點(diǎn)Q．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，m）時(shí)，求證：∠OPC=∠AQC；
（3）點(diǎn)M，N分別在線段AQ、CQ上，點(diǎn)M以每秒3個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M，N中有一點(diǎn)到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①連接AN，當(dāng)△AMN的面積最大時(shí)，求t的值；
②直線PQ能否垂直平分線段MN？若能，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x+1），

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（0，3），

∴3=a×3×1，解得a=1．

∴拋物線的解析式為：y=（x+3）（x+1）=x2+4x+3

（2）

證明：在拋物線解析式y(tǒng)=x2+4x+3中，當(dāng)x=﹣4時(shí)，y=3，∴P（﹣4，3）．

∵P（﹣4，3），C（0，3），

∴PC=4，PC∥x軸．

∵一次函數(shù)y=kx﹣4k（k≠0）的圖象交x軸于點(diǎn)Q，當(dāng)y=0時(shí)，x=4，

∴Q（4，0），OQ=4．

∴PC=OQ，又∵PC∥x軸，

∴四邊形POQC是平行四邊形，

∴∠OPC=∠AQC

（3）

解：①在Rt△COQ中，OC=3，OQ=4，由勾股定理得：CQ=5．

如答圖1所示，過點(diǎn)N作ND⊥x軸于點(diǎn)D，則ND∥OC，

∴△QND∽△QCO，

∴ ，即 ，解得：ND=3﹣ t．

設(shè)S=S△AMN，則：

S= AMND= 3t（3﹣ t）=﹣ （t﹣ ）2+ ．

又∵AQ=7，∴點(diǎn)M到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間為t= ，

∴S=﹣ （t﹣ ）2+ （0＜t≤ ）．

∵﹣ ＜0， ＜ ，且x＜ 時(shí)，y隨x的增大而增大，

t=2.5時(shí)已超過運(yùn)動(dòng)時(shí)間又因?yàn)殚_口向下所以取 ，

∴當(dāng)t= 時(shí)，△AMN的面積最大．

②假設(shè)直線PQ能夠垂直平分線段MN，則有QM=QN，且PQ⊥MN，PQ平分∠AQC．

由QM=QN，得：7﹣3t=5﹣t，解得t=1．

設(shè)P（x，x2+4x+3），

若直線PQ⊥MN，則：過P作直線PE⊥x軸，垂足為E，

則△PEQ∽△MDN，

∴ ，

∴

∴x= ，

∴P（ ， ）或（ ， ）

∴直線PQ能垂直平分線段MN

【解析】（1）利用交點(diǎn)式求出拋物線的解析式；（2）證明四邊形POQC是平行四邊形，則結(jié)論得證；（3）①求出△AMN面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出△AMN面積最大時(shí)t的值．注意：由于自變量取值范圍的限制，二次函數(shù)并不是在對(duì)稱軸處取得最大值；②直線PQ上的點(diǎn)到∠AQC兩邊的距離相等，則直線PQ能平分∠AQC，所以直線PQ能垂直平分線段MN．