Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點(diǎn)，
（1）求證：AC2=ABAD；
（2）求證：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB，

∵∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴AD：AC=AC：AB，

∴AC2=ABAD

（2）證明：∵E為AB的中點(diǎn)，

∴CE= AB=AE，

∴∠EAC=∠ECA，

∵∠DAC=∠CAB，

∴∠DAC=∠ECA，

∴CE∥AD

（3）解：∵CE∥AD，

∴△AFD∽△CFE，

∴AD：CE=AF：CF，

∵CE= AB，

∴CE= ×6=3，

∵AD=4，

∴ ，

∴

【解析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可證得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得AC2=ABAD；（2）由E為AB的中點(diǎn)，根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得CE= AB=AE，繼而可證得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；（3）易證得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得 的值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．