Question

（2005•閘北區(qū)一模）如圖，點G是等邊△ABC的重心，過點G作BC的平行線，分別交AB、AC于點D、E，點M在BC邊上．如果以點B、D、M為頂點的三角形與以點C、E、M為頂點的三角形相似（但不全等），那么S_△BDM：S_△CEM=

（7+3

5

）：2或（7-3

5

）：2

．

Answer 1

分析：首先由點G是等邊△ABC的重心，DE∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理與三角形重心的性質，即可得AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，

BD

AB

=

EC

AC

=

1

3

，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．

解答：解：∵點G是等邊△ABC的重心，DE∥BC，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，

BD

AB

=

EC

AC

=

1

3

，
∴BD=

1

3

BC，EC=

1

3

BC，
當△BDM∽△CME時，則

BD

CM

=

BM

EC

，
設BD=a，CM=x，則CE=a，BC=3a，BM=3a-x，
∴

a

x

=

3a-x

a

，
解得：x=

3± 5

2

a，
∴當BM=

3+ 5

2

a時，CM=

3- 5

2

a，則S_△BDM：S_△CEM=BM：CM=

7+3 5

2

；
當BM=

3- 5

2

a時，CM=

3+ 5

2

a，則S_△BDM：S_△CEM=

7-3 5

2

．
故答案為：（7+3

5

）：2或（7-3

5

）：2．

點評：此題考查了等邊三角形的性質，三角形重心的性質，平行線分線段成比例定理以及相似三角形的性質等知識．此題綜合性很強，難度適中，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想與方程思想的應用．