【題目】如圖,在平面直角坐標系中,將一塊腰長為5的等腰直角三角板ABC放在第二象限,且斜靠在兩坐標軸上,直角頂點C的坐標為(﹣1,0),點B在拋物線y=ax2+ax﹣2上.

1)點A的坐標為 ,點B的坐標為 ;

2)拋物線的關系式為 ;

3)設(2)中拋物線的頂點為D,求DBC的面積;

4)將三角板ABC繞頂點A逆時針方向旋轉90°,到達AB′C的位置.請判斷點B′C′是否在(2)中的拋物線上,并說明理由.

【答案】(1)(0,2),(﹣3,1);

(2)y=0.5x2+0.5x﹣2;

(3)S△BCD=

(4)點B′、C′在(2)中的拋物線上.理由見解析.

【解析】分析:(1)求A點的坐標就是求OA的長,可在直角三角形OAC中,根據(jù)AC=5,OC=1來求出OA的長,即可得出A的坐標.如果過Bx軸的垂線,假設垂足為F,那么ACO≌△CBH,OA=CFBF=OC,由此可求出B的坐標;

2)將已經(jīng)求出的A,B的坐標代入拋物線的解析式中即可求出拋物線的解析式;

3)根據(jù)(2)的函數(shù)關系式即可求出D點的坐標.求DBC的面積時,可將DBC分成CBEDCE兩部分(假設BDx軸于E).可先根據(jù)B,D的坐標求出BD所在直線的解析式,進而求出E點的坐標,那么可求出CE的長,然后以B,D兩點的縱坐標的絕對值分別作為BCEDCE的高,即可求出DBC的面積;(4)本題的關鍵是求出B′,C′兩點的坐標.過點B′B′My軸于點M,過點BBNy軸于點N,過點C″C″Py軸于點P.然后仿照(1)中求坐標時的方法,通過證RtAB′MRtBAN來得出B′的坐標.同理可得出C′的坐標.然后將兩點的坐標分別代入拋物線的解析式中,進而可判斷出兩點是否在拋物線上.

本題解析:1)∵C10),∴OC=1,∵AC= ,∴OA==2,∴A0,2),

BHx軸于H,如圖1,∵△ACB為等腰直角三角形,∴CA=CB,∠ACB=90°

∵∠ACO+BCH=90°,∠ACO+CAO=90°,∴∠CAO=BCH,

ACOCBH,∴△ACO≌△CBH,∴OC=BH=1,AO=CH=2,∴B(﹣31);

故答案為(0,2),(﹣3,1);

2)把B(﹣3,1)代入y=ax2+ax29a3a2=1,解得a=0.5,∴拋物線解析式為y=0.5x2+0.5x2;

故答案為y=0.5x2+0.5x2;

3)∵y=0.5x2+0.5x2=0.5x+0.52 ,∴D(﹣0.5,﹣),設直線BD的關系式為y=kx+b,

B(﹣3,1)、D(﹣0.5,﹣ )代入得 ,解得,

BD的關系式為y= x ;直線BDx軸交點為E,如圖1,

y=0時,﹣x=0,解得x=2.2,則E(﹣2.20),

SBCD=SBCE+SDCE=0.5·(﹣1+2.2·1+0.5·(﹣1+2.2·=;

4)點B′、C′在(2)中的拋物線上.理由如下:

如圖2,過點B′B′Ny軸于點N,過點BBFy軸于點F,過點C′C′My軸于點M

∵三角板ABC繞頂點A逆時針方向旋轉90°,到達AB′C的位置,

∴∠CAC′=90°,∠BAB′=90°,AC=AC′AB=AB′

∵∠BAF+B′AN=90°,∠BAF+ABF=90°,∴∠ABF=B′AN,

RtAB′NRtBAF中, ,∴RtAB′NRtBAF,

B′N=AF=2AN=BF=3,∴B′1,﹣1),同理可得AC′M≌△CAO,

C′M=OA=2,AM=OC=1,∴C′2,1),

x=1時,y=x2+x2=+2=1,所以點B′1,﹣1)在拋物線上,

x=2時,y=x2+x2=2+12=1,所以點C′21)在拋物線上.

練習冊系列答案
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