Question

如圖，在梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，AB=14cm，AD=15cm，BC=24cm，點(diǎn)P 從A出發(fā)，沿AD邊向D運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，點(diǎn)Q從C出發(fā)，沿CB邊向B運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，其中一動(dòng)點(diǎn)達(dá)到端點(diǎn)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．從運(yùn)動(dòng)開始，
（1）經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，四邊形PQCD是平行四邊形？
（2）經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，四邊形PQCD成為等腰梯形？
（3）在此過(guò)程中，四邊形PQCD的面積是否有最大值？若存在，并求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）要使四邊形PQCD是平行四邊形，只需滿足DP=CQ即可，以此求得所用的時(shí)間；
（2）四邊形PQCD成為等腰梯形，首先要掌握等腰梯形的性質(zhì)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)兩腰相等時(shí)求得的時(shí)間即為所求；
（3）根據(jù)梯形面積公式以及PD，QC的長(zhǎng)，結(jié)合一次函數(shù)最值得出即可．

解答：解：設(shè)時(shí)間為t秒，則DP=24-t，CQ=3t，
（1）當(dāng)DP=CQ時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形，
此時(shí)15-t=2t，
解得t=5（秒）；

（2）作DE⊥CB，E為垂足，
則CE=CB-DA=24-15=9，
∴當(dāng)CQ-DP=18時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形，且PD≠Q(mào)C，
此時(shí)2t-（15-t）=18，
解得：t=11（秒）；

（3）四邊形PQCD的面積有最大值，
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，四邊形PQCD的面積為S，
則S=

1

2

×AB×（PD+QC）=7（15+t）=7t+105，
由題意：t的取值范圍是0＜t≤12，
故當(dāng)t=12時(shí)，四邊形PQCD的面積最大，
所以四邊形PQCD的面積有最大值為189．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等腰梯形的性質(zhì)和一次函數(shù)的增減性等知識(shí)，根據(jù)已知得出S與t的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．