Question

題甲：如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y=mx+b的圖象交于A（1，3），B（n，-1）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象回答：當(dāng)x取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值．

題乙：如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10．直角尺的直角頂點(diǎn)P在AD上滑動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與A，D不重合），一直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，另一直角邊AB交于點(diǎn)E．我們知道，結(jié)論“Rt△AEP∽R(shí)t△DPC”成立．
（1）當(dāng)∠CPD=30°時(shí)，求AE的長(zhǎng)；
（2）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△DPC的周長(zhǎng)等于△AEP周長(zhǎng)的2倍？若存在，求出DP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

甲題：
解：（1）∵A（1，3）在y=的圖象上，
∴k=3，
∴．                                             
又∵B（n，-1）在的圖象上，
∴n=-3，即B（-3，-1）．                               
∴解得：m=1，b=2．                      
∴反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為y=x+2；

（2）從圖象上可知，當(dāng)反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上面時(shí)，
即x＜-3或0＜x＜1時(shí)，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值．   

乙題：
解：（1）在Rt△PCD中，由tan∠CPD=，得
，
∴AP=AD-PD=10-4．                              
由△AEP∽△DPC知：，
∴；

（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，設(shè)DP=x，則AP=10-x．
由△AEP∽△DPC知：，
∴，
解得x=8．
即PD=8．
分析：甲題：A（1，3）在y=的圖象上，代入就可以求出k的值，得到k=3，把B（n，-1）代入的解析式就可以求出n的值．進(jìn)而根據(jù)待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式．根據(jù)函數(shù)的圖象就可以得到，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值時(shí)x的范圍．
乙題：①先由“∠CPD=30°和AC=4”得出DP的長(zhǎng)，再得AP，從而可求AE；②可以求出，只要先令DP=2AP即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及反比例函數(shù)的圖象畫(huà)法和它的性質(zhì)，利用形數(shù)結(jié)合解決此類(lèi)問(wèn)題，是非常有效的方法．