Question

11．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（-1，0），點(diǎn)M（m，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
（1）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)CM+DM的值最小時(shí)，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A（-1，0）在拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx-2$上，求得b=-$\frac{3}{2}$，得出拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，求出C（0，-2），A（-1，0），B（4，0），由AC²+BC²=AB²，得出△ABC是直角三角形；
（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接C′D交x軸于點(diǎn)M，求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)與C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性及兩點(diǎn)之間線段最短，求得直線C′D的解析式，與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是m的值．

解答 解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵點(diǎn)A（-1，0）在拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx-2$上，
∴$\frac{1}{2}{（-1）^2}+b（-1）-2=0$，
解得：b=-$\frac{3}{2}$，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，
∴C（0，-2），即OC=2，
當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}x-2=0$，
解得：x₁=-1，x₂=4，
∴A（-1，0），B（4，0），
即：OA=1，OB=4，AB=5．
∴AB²=25，AC²=OA²+OC²=1²+2²=5，BC²=OC²+OB²=2²+4²=20，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形；
（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，
則C′（0，2），OC′=2，連接C′D交x軸于點(diǎn)M，如圖所示：
根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC+MD的最小值為線段C'D，
∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$，
∴拋物線的頂點(diǎn)$D（\frac{3}{2}，-\frac{25}{8}）$
設(shè)直線C'D解析式：y=kx+b（k≠0），則$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ \frac{3}{2}k+b=-\frac{25}{8}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{41}{12}$，b=2，
∴直線C'D解析式：y=-$\frac{41}{12}$x+2，
當(dāng)y=0時(shí)，得x=$\frac{24}{41}$，
∴m=$\frac{24}{41}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、拋物線解析式的求法、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求直線的解析式、勾股定理的逆定理、最小值問(wèn)題等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．