Question

（2013•鳳陽(yáng)縣模擬）把Rt△ABC如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B在x軸上，∠ABC=90°，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），AO=2OB，且∠OAB=∠BAC．
（1）求過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；
（2）若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)A的中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E），再到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A．求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長(zhǎng)；
（3）在AC上是否存在點(diǎn)Q，使得△QBC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，由A（0，4），AO=2BO，可知OB=2，B（2，0），再根據(jù)∠ABC=∠AOB=90°，∠OAB=∠BAC可得出△ABC∽△AOB，由相似三角形的性質(zhì)可知

AB

BC

=

AO

BO

=2，由相似三角形的判定定理可得出△AOB∽△BDC，故可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式即可；
（2）求出（1）中拋物線的對(duì)稱軸方程，作A關(guān)于直線x=

13

5

的對(duì)稱點(diǎn)A′，作M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接A′M′交x軸于點(diǎn)E，交直線x=

13

5

于點(diǎn)F，此時(shí)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路線最短，由對(duì)稱性得：ME+FE+FA=A′M′，再根據(jù)勾股定理求出A′M′的長(zhǎng)，得出直線直線A′M′的解析式，故可得出EF兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）先用待定系數(shù)法求出過(guò)A、C兩點(diǎn)的直線解析式，設(shè)Q（x，-

3

4

x+4），再分QB=QC；QC=BC；QB=BC三種情況利用兩點(diǎn)間的距離公式求出x的值，進(jìn)而得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于D．
∵A（0，4），AO=2BO，
∴OB=2，
∴B（2，0），
∵∠ABC=∠AOB=90°，∠OAB=∠BAC
∴△ABC∽△AOB
∴

AB

AO

=

BC

BO

，
∴

AB

BC

=

AO

BO

=2，
∵∠OBA+∠CBD=90°，∠OBA+∠OAB=90°
∴∠OAB=∠CBD
∵∠CDB=∠AOB=90°
∴△AOB∽△BDC
∴

AB

BC

=

AO

BD

=

OB

DC

，
∴BD=2，DC=1
∴C（4，1），
∵拋物線過(guò)點(diǎn)A（0，4），
∴設(shè)拋物線解析式為：y=ax²+bx+4，
又∵拋物線過(guò)B（2，0），C（4，1），
∴

4a+2b+4=0 16a+4b+4=1

解得：a=

5

8

，b=-

13

4

，
∴拋物線解析式為：y=

5

8

x²-

13

4

x+4；      

（2）由（1）中求出的拋物線的解析式可知，拋物線的對(duì)稱軸為：直線x=-

b

2a

=

13

5

，
作A關(guān)于直線x=

13

5

的對(duì)稱點(diǎn)A′，則A′（

26

5

，4），
作M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M′，則M′（0，-2），
連接A′M′交x軸于點(diǎn)E，交直線x=

13

5

于點(diǎn)F，
則此時(shí)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路線最短，
由對(duì)稱性得：ME+FE+FA=A′M′，
又∵A′M′=

(4+2)2+( 26 5 )2

=

2 394

5

，
∵直線A′M′解析式為：y=

15

13

x-2，
∴E（

26

15

，0），F(xiàn)（

13

5

，1）；

（3）∵A（0，4），B（2，0），C（4，1），
∴設(shè)過(guò)A、C兩點(diǎn)的直線解析式為：y=kx+b（k≠0），則

b=4 k=- 3 4

，
∴過(guò)A、C兩點(diǎn)的直線解析式為：y=-

3

4

x+4，
設(shè)Q（x，-

3

4

x+4），
①若QB=QC時(shí)，則（x-2）²+（-

3

4

x+4）²=（x-4）²+（-

3

4

x+4-1）²，解得x=2，
即Q₁（2，

5

2

）；
同理，②若QC=BC時(shí)，Q₂（

20-4 5

5

，

5+3 5

5

）；
③若QB=BC時(shí)，Q₃（

12

5

，

11

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的對(duì)稱軸公式和待定系數(shù)法求拋物線的解析式、兩點(diǎn)間的距離公式，在解答（3）時(shí)要注意分類討論．