【題目】如圖,在⊙O中,AB是⊙O的直徑,AE是弦,OG⊥AE于點G,交⊙O 于點D,連結(jié)BD交AE于點F,延長AE至點C,連結(jié)BC.
(1)當BC=FC時,證明:BC是⊙O的切線;
(2)已知⊙O的半徑,當tanA=,求GF的長.
【答案】(1)見解析;(2)1
【解析】
(1)由OD⊥AE可知∠D+∠GFD=90°,由等腰三角形的性質(zhì)可得∠BFC=∠FBC,∠OBD=∠D,從而可證∠OBC=90°;
(2) 連接 BE,在Rt△AOG中,可求出OG= 3, AG=4,由垂徑定理得GE= AG=4,然后通過證明△FGD∽△FEB,可求出GF的長.
(1)證明:∵OD⊥AE.
∴∠D+∠GFD=90°.
∵BC=FC,
∴∠BFC=∠FBC.
∵∠BFC=∠GFD,
∴∠GFD=∠FBC.
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠D.
∴∠OBD+∠CBF=∠D+∠GFD=90°.
即∠OBC=90°.
∴BC是的切線.
(2) 連接 BE,
∵⊙O半徑,tanA=,
∴sinA=,cosA=.
∴在Rt△AOG中,OG=OA sinA=5×=3, AG=OA cosA=5×=4=GE.
∴GD=OD-OG=5-3=2.
∵OG⊥AE,
∴AG=GE.
∴OG是△ABE的中位線,
∴BE=2OG=6,BE∥OD.
∴∠D=∠FBE,∠BEF=∠FGD.
∴△FGD∽△FEB.
∴.
∴.
∴GF=1.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點E,點P在⊙O上,弦PB與CD交于點F,且FC=FB.
(1)求證:PD∥CB;
(2)若AB=26,EB=8,求CD的長度.
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【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BC=5,CD=6,∠DCB=60°,等邊△PMN(N為固定點)的邊長為x,邊MN在直線BC上,NC=8.將直角梯形ABCD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到①的位置,再繞點D1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到②的位置,如此旋轉(zhuǎn)下去.
(1)將直角梯形按此方法旋轉(zhuǎn)四次,如果等邊△PMN的邊長為x≥5+3,求梯形與等邊三角形的重疊部分的面積;
(2)將直角梯形按此方法旋轉(zhuǎn)三次,如果梯形與等邊三角形的重疊部分的面積是,求等邊△PMN的邊長x的范圍.
(3)將直角梯形按此方法旋轉(zhuǎn)三次,如果梯形與等邊三角形的重疊部分的面積是梯形面積的一半,求等邊△PMN的邊長x.
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【題目】如圖,MN表示一段筆直的高架道路,線段AB表示高架道路旁的一排居民樓,已知點A到MN的距離為15米,BA的延長線與MN相交于點D,且∠BDN=30°,假設汽車在高速道路上行駛時,周圍39米以內(nèi)會受到噪音(XRS)的影響.
(1)過點A作MN的垂線,垂足為點H,如果汽車沿著從M到N的方向在MN上行駛,當汽車到達點P處時,噪音開始影響這一排的居民樓,那么此時汽車與點H的距離為多少米?
(2)降低噪音的一種方法是在高架道路旁安裝隔音板,當汽車行駛到點Q時,它與這一排居民樓的距離QC為39米,那么對于這一排居民樓,高架道路旁安裝的隔音板至少需要多少米長?(精確到1米)(參考數(shù)據(jù):≈1.7)
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【題目】某校舉行數(shù)學競賽,對獲一等獎的學生獎勵數(shù)學家的著作《好玩的數(shù)學》,對獲二等獎的學生獎勵創(chuàng)意學生筆記本,若網(wǎng)購《好玩的數(shù)學》14元/本,創(chuàng)意學生筆記本12元/本,若《好玩的數(shù)學》數(shù)量比創(chuàng)意學生筆記本的數(shù)量的一半多5本,買兩種獎品共用了1020元,購買兩種獎品的數(shù)量各是多少本?
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【題目】如圖,已知△ABC中,點D在邊BC上,∠DAB=∠B,點E在邊AC上,滿足AE·CD=AD·CE.
(1)求證:DE∥AB;
(2)如果點F是DE延長線上一點,且BD是DF和AB的比例中項,連接AF.求證:DF=AF.
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【題目】如圖,均勻的正四面體的各面依次標有1,2,3,4四個數(shù)字.小明做了60次投擲試驗,結(jié)果統(tǒng)計如下:
朝下數(shù)字 | 1 | 2 | 3 | 4 |
出現(xiàn)的次數(shù) | 16 | 20 | 14 | 10 |
(1)計算上述試驗中“4朝下”的頻率是 ;
(2)隨機投擲正四面體兩次,請用列表或畫樹狀圖法,求兩次朝下的數(shù)字之和大于4的概率.
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【題目】已知:AD是△ABC的高,且BD=CD.
(1)如圖1,求證:∠BAD=∠CAD;
(2)如圖2,點E在AD上,連接BE,將△ABE沿BE折疊得到△A′BE,A′B與AC相交于點F,若BE=BC,求∠BFC的大。
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接EF,過點C作CG⊥EF,交EF的延長線于點G,若BF=10,EG=6,求線段CF的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知AB是⊙O的直徑,AP是⊙O的切線,A是切點,BP與⊙O交于點C.
(1)如圖①,若∠P=35°,求∠ABP的度數(shù);
(2)如圖②,若D為AP的中點,求證:直線CD是⊙O的切線.
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