Question

如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（1，4），且經(jīng)過點(diǎn)B（-，-），與橫軸交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊）
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AD，判斷AD與BD的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）設(shè)點(diǎn)P是直線BD上方且位于拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥AD交直線BD于點(diǎn)Q，求PQ的最大值．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+4，
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入可得：-=a（--1）²+4，
解得：a=-1，
故拋物線解析式為：y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；

（2）令y=0，則-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴C的坐標(biāo)為（-1，0），D的坐標(biāo)為（3，0），
則AD==2，BD==，AB==，
∵AD²+BD²=AB²，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BD；

（3）設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
將B、D的坐標(biāo)代入可得：，
解得：，
則直線BD的解析式為y=x-，
過點(diǎn)A作AE∥y軸，交BD于點(diǎn)E，作PF∥y軸，交BD于點(diǎn)F，

則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，-1），AE=5，cos∠EAD==，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，x-），PF=-x²+2x+3-（x-）=-x²+x+，
在Rt△PFQ中，PQ=PFcos∠FPQ=PFcos∠EAD
=（-x²+x+）
=-（2x²-3x-9）
=-（2x²-3x）+
=-（x-）²+，
當(dāng)x=時(shí)，PQ取得最大，最大值為．
分析：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+4，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入可得a的值，繼而可確定拋物線的解析式；
（2）分別求出AB、BD、AD的長度，利用勾股定理的逆定理可判斷AD⊥BD；
（3）過點(diǎn)A作AE∥y軸，交BD于點(diǎn)E，作PF∥y軸，交BD于點(diǎn)F，先求出cos∠EAD，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3），表示出PF，繼而在Rt△PQF中，可表示出PQ，利用配方法求解最值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求拋物線解析式、勾股定理的逆定理及配方法求二次函數(shù)的最值，綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多，解答本題注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)算．