【題目】如圖,直線y=﹣x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B.拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點,與x軸的另一個交點為C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P是第一象限拋物線上的點,連接OP交直線AB于點Q.設(shè)點P的橫坐標為m,PQ與OQ的比值為y,求y與m的關(guān)系式,并求出PQ與OQ的比值的最大值;
(3)點D是拋物線對稱軸上的一動點,連接OD、CD,設(shè)△ODC外接圓的圓心為M,當sin∠ODC的值最大時,求點M的坐標.
【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2+x+3;(2)y=﹣m2+m,PQ與OQ的比值的最大值為;(3)點M的坐標為(﹣1,)或(﹣1,﹣).
【解析】
(1)根據(jù)直線解析式求得點A、B的坐標,將兩點的坐標代入拋物線解析式求解可得;
(2)過點P作y軸的平行線交AB于點E,據(jù)此知△PEQ∽△OBQ,根據(jù)對應(yīng)邊成比例得y=PE,由P(m,﹣m2+m+3)、E(m,﹣m+3)得PE=﹣m2+m,結(jié)合y=PE可得函數(shù)解析式,利用二次函數(shù)性質(zhì)得其最大值;
(3)設(shè)CO的垂直平分線與CO交于點N,知點M在CO的垂直平分線上,連接OM、CM、DM,根據(jù)∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD知sin∠ODC=sin∠OMN=,當MD取最小值時,sin∠ODC最大,據(jù)此進一步求解可得.
(1)在y=﹣x+3中,令y=0得x=4,令x=0得y=3,
∴點A(4,0)、B(0,3),
把A(4,0)、B(0,3)代入y=﹣x2+bx+c,得:
,
解得:,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+3;
(2)如圖1,過點P作y軸的平行線交AB于點E,
則△PEQ∽△OBQ,
∴,
∵=y、OB=3,
∴y=PE,
∵P(m,﹣m2+m+3)、E(m,﹣m+3),
則PE=(﹣m2+m+3)﹣(﹣m+3)=﹣m2+m,
∴y=(﹣m2+m)=﹣m2+m=﹣(m﹣2)2+,
∵0<m<3,
∴當m=2時,y最大值=,
∴PQ與OQ的比值的最大值為;
(3)如圖,由拋物線y=﹣x2+x+3易求C(﹣2,0),對稱軸為直線x=1,
∵△ODC的外心為點M,
∴點M在CO的垂直平分線上,
設(shè)CO的垂直平分線與CO交于點N,連接OM、CM、DM,
則∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD,
∴sin∠ODC=sin∠OMN=,
又MO=MD,
∴當MD取最小值時,sin∠ODC最大,
此時⊙M與直線x=1相切,MD=2,
MN==,
∴點M(﹣1,﹣),
根據(jù)對稱性,另一點(﹣1,)也符合題意;
綜上所述,點M的坐標為(﹣1,)或(﹣1,﹣).
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,E是BC的中點,F是CD上一點,AE⊥EF.有下列結(jié)論:①∠BAE=30°;②射線FE是∠AFC的角平分線;③AE2=ADAF;④AF=AB+CF.其中正確結(jié)論為是______.(填寫所有正確結(jié)論的序號)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校七年級計劃成立學生社團,要求每一位學生都選擇一個社團而且只能選擇一個社團.為了解學生對不同社團的選擇意向,隨機抽取了七年級部分學生進行“我最喜愛的社團”問卷調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩個不完整的統(tǒng)計圖表.
七年級部分學生“我最喜愛的社團”調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計表
社團名稱 | 人數(shù) |
文學社團 | 4 |
創(chuàng)客社團 | 9 |
書法社團 | |
繪畫社團 | 6 |
體育社團 | 10 |
音樂社團 | 5 |
美食社團 | |
數(shù)學社團 | 2 |
七年級部分學生“我最喜愛的社團”調(diào)查結(jié)果扇形統(tǒng)計圖
請解答下列問題:
(1)______,______.
(2)在扇形統(tǒng)計圖中,“繪畫社團”所對應(yīng)的扇形圓心角為______度.
(3)該校七年級共有350名學生,每個社團人數(shù)不低于30人才可以開展.試通過計算估計該校七年級有哪些社團可以開展.
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【題目】課外閱讀是提高學生素養(yǎng)的重要途徑.某中學為了了解全校學生課外閱讀情況,隨機抽查了200名學生,統(tǒng)計他們平均每天課外閱讀時間(小時).根據(jù)每天課外閱讀時間的長短分為A,B,C.D四類,下面是根據(jù)所抽查的人數(shù)繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計圖表,請根據(jù)圖中提供的信息,解答下面的問題:
200名學生平均每天課外閱讀時間統(tǒng)計表
類別 | 時間t(小時) | 人數(shù) |
A | t<0.5 | 40 |
B | 0.5≤t<1 | 80 |
C | 1≤t<1.5 | 60 |
D | t≥1.5 | a |
(1)求表格中a的值,并在圖中補全條形統(tǒng)計圖:
(2)該校現(xiàn)有1800名學生,請你估計該校共有多少名學生課外閱讀時間不少于1小時?
(3)請你根據(jù)上述信息對該校提出相應(yīng)的建議
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【題目】劉徵是我國古代最杰出的數(shù)學家之一,他在《九算術(shù)圓田術(shù))中用“割圓術(shù)”證明了圓面積的精確公式,并給出了計算圓周率的科學方法(注:圓周率=圓的周長與該圓直徑的比值)“割圓術(shù)”就是以“圓內(nèi)接正多邊形的面積”,來無限逼近“圓面積”,劉徽形容他的“割圓術(shù)”說:割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體,而無所失矣.劉徽計算圓周率是從正六邊形開始的,易知圓的內(nèi)接正六邊形可分為六個全等的正三角形,每個三角形的邊長均為圓的半徑R.此時圓內(nèi)接正六邊形的周長為6R,如果將圓內(nèi)接正六邊形的周長等同于圓的周長,可得圓周率為3.當正十二邊形內(nèi)接于圓時,如果按照上述方法計算,可得圓周率為_____.(參考數(shù)據(jù):sinl5°=0.26)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,以為直徑作圓,分別交于點,交的延長線于點,過點作于點,連接交線段于點.
(1)求證:是圓的切線;
(2)若為的中點,求的值;
(3)若,求圓的半徑.
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【題目】小明在上學的路上要經(jīng)過多個路口,每個路口都設(shè)有紅、黃、綠三種信號燈,假設(shè)在各路口遇到信號燈是相互獨立的.
(1).如果有2個路口,求小明在上學路上到第二個路口時第一次遇到紅燈的概率.(請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程)
(2).如果有n個路口,則小明在每個路口都沒有遇到紅燈的概率是 .
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【題目】如圖,拋物線的頂點為,交軸于點,(點在點的右側(cè)),點在第一象限,且在拋物線部分上,交軸于點.
(1)求該拋物線的表達式.
(2)若,求的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在Rt△ABC中,AB=AC=3,在△ABC內(nèi)作第一個內(nèi)接正方形DEFG;然后取GF的中點P,連接PD、PE,在△PDE內(nèi)作第二個內(nèi)接正方形HIKJ;再取線段KJ的中點Q,在△QHI內(nèi)作第三個內(nèi)接正方形…依次進行下去,則第2014個內(nèi)接正方形的邊長為____.
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