Question

（2011•錦州一模）如圖，AB是⊙O的直徑，過(guò)⊙O上的點(diǎn)E作⊙O的切線，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，過(guò)A點(diǎn)作AD⊥CE于點(diǎn)D，且與⊙O交于點(diǎn)F，連接AE、BF．
（1）AE是否為∠CAD的平分線，說(shuō)明理由；
（2）若CB=2，CE=4，求⊙O的半徑及BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）AE是∠CAD的平分線．理由：連接OE，首先利用切線性質(zhì)得到OE⊥GE，而AD⊥CE，由此得到OE∥AD，然后利用平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△CEO中利用勾股定理可以列出關(guān)于r的方程，解方程求出r，設(shè)BF與OE交于點(diǎn)G，然后利用已知條件和平行線的性質(zhì)證明△OBG∽△OCE，接著他相似三角形的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）AE是∠CAD的平分線．
理由：連接OE，
∵CE是⊙O的切線，
∴OE⊥GE，
∵AD⊥CE，
∴OE∥AD，
∴∠OEA=∠DAE，
∵OE=OA，
∴∠CAE=∠OEA，
∴CAE∠=∠DAE，
∴AE是∠CAD的角平分線；

（2）設(shè)⊙O的半徑為r，
在Rt△CEO中，∵CO²=OE²+CE²，CB=2，CE=4，
∴（2+r）²=r²+16，
∴r=3，
設(shè)BF與OE交于點(diǎn)G，
∵∠AFB=90°，
∴BF⊥AD，∵AD⊥CE，
∴BF∥CD，
∵OE⊥EC，
∴OE⊥BF，
∴BG=GF，
∵BF∥CD，
∴△OBG∽△OCE，
∴OB：OC=BG：CE，
∴

3

5

=

BG

4

，
∴BG=

12

5

，
∴BF=2BG=

24

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定及相似三角形的性質(zhì)與判定．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．