Question

（2013•濟(jì)寧）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上的點(diǎn)，且AF⊥BE．
（1）求證：AF=BE；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且MP⊥NQ．MP與NQ是否相等？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△DAF全等，再根據(jù)全等三角形的證明即可；
（2）過點(diǎn)A作AF∥MP交CD于F，過點(diǎn)B作BE∥NQ交AD于E，然后與（1）相同．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
∵在△ABE和△DAF中，

∠ABE=∠DAF AB=AD ∠BAE=∠D

，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴AF=BE；

（2）解：MP與NQ相等．
理由如下：如圖，過點(diǎn)A作AF∥MP交CD于F，過點(diǎn)B作BE∥NQ交AD于E，
則與（1）的情況完全相同．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，主要利用了正方形的四條邊都相等，每一個(gè)角都是直角的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，利用三角形全等證明相等的邊是常用的方法之一，要熟練掌握并靈活運(yùn)用．