Question

如圖，用兩個邊長均為1的正方形ABCD和DCEF拼成一個矩形ABEF，把一個足夠大的直角三角尺的直角頂點與這個矩形的邊AF的中點D重合，固定矩形ABEF，將直角三角尺繞點D按逆時針方向旋轉．
（1）觀察并證明：當直角三角尺的兩直角邊分別與矩形ABEF的兩邊BE、EF相交于點G、H時（如圖甲），通過觀察或測量BG與EH的長度，你能得到什么結論，并證明你的結論；
（2）操作：在旋轉過程中，設直角三角尺的兩直角邊分別與射線BE、射線EF交于G、H（如圖乙是旋轉過程中的一種狀態(tài)），DG交EH于O，設BG=x（x＞0）．
探究①：設直角三角尺與矩形ABEF重疊部分的面積為y，直接寫出y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
探究②：在旋轉過程中，∠DGE能否為30°？若能，設此時過點D有一直線分別與EF、EG交于M、N，該直線恰好平分△OEG的面積，求EM的長，若不能，請說明理由（注：）．

Answer 1

解：（1）BG=EH．
證明：∵∠GDC+∠CDH=∠CDH+∠FDH=90°，
∴∠GDC=∠FDH，
∵∠DCG=∠F=90°，CD=DF，
∴△DCG≌△DFH，
∴CG=FH，
∵BC=EF，
∴BG=EH．

（2）①當0＜x≤1時，y=1；
當1＜x≤2時，；
當x＞2時，；
②∠DGE能為30°，這時，，，
∴S_△OEG=，
設EM=m，EN=n，則S_△OEG，
∴①，
∵EM∥AD，
∴即②，
解由①、②組成的方程組，得m²+0.05m-0.05=0，
∴m₁=0.2，m₂=-0.25（舍），
∴EM=0.2．
分析：（1）BG=EH．根據(jù)已知條件和正方形的性質容易找到條件證明△DCG≌△DFH，再根據(jù)全等三角形的性質就可以證明了；
（2）①旋轉過程分三種情況．當0＜x≤1時，當1＜x≤2時，當x＞2時，進行分析．
根據(jù)已知條件和勾股定理求出△OEG的面積，設EM=m，EN=n，根據(jù)面積公式和平行線的性質列方程組，解方程組就可以求出EM的長．
點評：此題是開放性試題，充分利用正方形，矩形和旋轉的性質去探究圖形變換的規(guī)律．