Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB=2，以AB為直徑的圓交BC于D，求圖形陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：連接OD，AD，由題意知，△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)直徑對的圓周角是直角知，∠ADB=90°，即AD是等腰直角三角形斜邊BC上的高，由等腰三角形的性質(zhì)：底邊上的高與底邊上的中線重合知，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，由于點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，則OD是△ABC的AC邊對的中位線，有OD∥AC，則點(diǎn)D也是半圓ADB的中點(diǎn)，則弓形BD與弓形AD的面積相等，所以陰影部分的面積等于△ACD的面積．
解答：解：連接OD，AD．
∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴△ABC是等腰直角三角形，有∠B=∠C=45°，
∵∠ADB=90°，
∴AD是等腰直角三角形斜邊BC上的高，則點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴OD是△ABC的AC邊對的中位線，OD∥AC，
∴點(diǎn)D也是半圓ADB的中點(diǎn)，則弓形BD與弓形AD的面積相等，所以陰影部分的面積等于△ACD的面積．
∵△ACD是等腰直角三角形，則AD=CD=AC=，
∴S_陰影=S_△ACD=CD•AD=××=1．
點(diǎn)評：本題利用了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位線的判定和性質(zhì)，直徑對的圓周角是直角，等腰直角三角形的面積公式求解．