Question

如圖1，在梯形ABCD中，AB=BC=10cm，CD=6cm，∠C=∠D=90°．
（1）如圖2，動點P、Q同時以每秒1cm的速度從點B出發(fā)，點P沿BA，AD，DC運動到點C停止，點Q沿BC運動到點C停止，設P、Q同時從點B出發(fā)t秒時，△PBQ的面積為y₁（cm²），求y₁（cm²）關于t（秒）的函數(shù)關系式；
（2）如圖3，動點P以每秒1cm的速度從點B出發(fā)沿BA運動，點E在線段CD上隨之運動，且PC=PE．設點P從點B出發(fā)t秒時，四邊形PADE的面積為y₂（cm²），求y₂（cm²）關于t（秒）的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）本題的關鍵是看三角形BPQ中，BQ邊上的高的值，分三種情況進行討論：
①當P在BA上運動時，過P作PN⊥BC于N，過A作AM⊥BC于M，那么AM的值不難求出，可在相似三角形BPN和BAM中，表示出PN的長．
②當P在AD上運動時，高PN=DC．
③當P在DC上運動時，高PC=BA+AD+DC-t．
然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出y₁，t的函數(shù)關系式．
（2）由于四邊形APED不是規(guī)則的四邊形，因此其面積可用梯形ABCD的面積-三角形BPC的面積-三角形CPE的面積來求．關鍵還是求出三角形BPC和CPE的高，過P分別作PF⊥CD于F，PH⊥BC于H，PH=CF=

1

2

CE，而PF的長可用BC-BH來得出，由此可得出關于y₂與t的函數(shù)關系式．

解答：解：（1）過點A作AM⊥BC于M，如圖1，則AM=6，BM=8，
∴AD=MC=2．
過點P作PN⊥BC于N，則△PNB∽△AMB，
∴

PN

AM

=

BP

BA

．
∴

PN

6

=

t

10

．
∴PN=

3

5

t．
①當點P在BA上運動時，
y₁=

1

2

BQ•NP=

1

2

t•

3

5

t=

3

10

t²；
②當點P在AD上運動時，BQ=BC=10，PN=DC=6，
y₁=

1

2

BQ•NP=

1

2

×10×6=30；
③當點P在DC上運動時，
y₁=

1

2

BQ•CP=

1

2

×10（10+2+6-t）=-5t+90．

（2）過點P作PF⊥CD于F，PH⊥BC于H，如圖2，
∵∠BCD=90°，
∴四邊形PHCF是矩形，
∴FC=EF=PH=

3

5

t，
在Rt△BHP中，BH=

BP2-PH2

=

t2-( 3 5 t)2

=

4

5

t，
∴PF=BC-HB=10-

4

5

t．
∴y₂=S_梯形ABCD-S_△BPC-S_△PEC=

1

2

（2+10）×6-

1

2

×10×

3

5

t-

1

2

×

6

5

t（10-

4

5

t）
=

12

25

t²-9t+36
當CE=CD時，

6

5

t=6，
∴t=5．
∴自變量t的取值范圍是0≤t≤5．

點評：本題主要考查了梯形的性質，三角形的相似，圖形面積的求法及二次函數(shù)的綜合應用等知識點．不規(guī)則圖形的面積通常轉化為規(guī)則圖形的面積的和差．