【題目】如圖,在直角坐標系中,⊙M經(jīng)過原點O(0,0),點A( ,0)與點B(0,﹣ ),點D在劣弧 上,連接BD交x軸于點C,且∠COD=∠CBO.
(1)求⊙M的半徑;
(2)求證:BD平分∠ABO;
(3)在線段BD的延長線上找一點E,使得直線AE恰好為⊙M的切線,求此時點E的坐標.
【答案】
(1)解:∵點A( ,0)與點B(0,﹣ ),
∴OA= ,OB= ,
∴AB= =2 ,
∵∠AOB=90°,
∴AB是直徑,
∴⊙M的半徑為:
(2)解:∵∠COD=∠CBO,∠COD=∠CBA,
∴∠CBO=∠CBA,
即BD平分∠ABO
(3)解:如圖,過點A作AE⊥AB,垂足為A,交BD的延長線于點E,過點E作EF⊥OA于點F,即AE是切線,
∵在Rt△AOB中,tan∠OAB= = = ,
∴∠OAB=30°,
∴∠ABO=90°﹣∠OAB=60°,
∴∠ABC=∠OBC= ∠ABO=30°,
∴OC=OBtan30°= × = ,
∴AC=OA﹣OC= ,
∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°,
∴∠EAC=60°,
∴△ACE是等邊三角形,
∴AE=AC= ,
∴AF= AE= ,EF= AE= ,
∴OF=OA﹣AF= ,
∴點E的坐標為:( , ).
【解析】(1)由點A( ,0)與點B(0,﹣ ),可求得線段AB的長,然后由∠AOB=90°,可得AB是直徑,繼而求得⊙M的半徑;(2)由圓周角定理可得:∠COD=∠ABC,又由∠COD=∠CBO,即可得BD平分∠ABO;(3)首先過點A作AE⊥AB,垂足為A,交BD的延長線于點E,過點E作EF⊥OA于點F,易得△AEC是等邊三角形,繼而求得EF與AF的長,則可求得點E的坐標.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在數(shù)學課本上,同學們已經(jīng)探究過“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線“的尺規(guī)作圖過程:
已知:直線l和l外一點P
求作:直線l的垂線,使它經(jīng)過點P.
作法:如圖:⑴在直線l上任取兩點A、B;
⑵分別以點A、B為圓心,AP,BP長為半徑畫弧,兩弧相交于點Q;
⑶作直線PQ.
參考以上材料作圖的方法,解決以下問題:
(1)以上材料作圖的依據(jù)是:
(2)已知,直線l和l外一點P,
求作:⊙P,使它與直線l相切.(尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡,并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我市東坡實驗中學準備開展“陽光體育活動”,決定開設足球、籃球、乒乓球、羽毛球、排球等球類活動,為了了解學生對這五項活動的喜愛情況,隨機調(diào)查了m名學生(每名學生必選且只能選擇這五項活動中的一種).
根據(jù)以上統(tǒng)計圖提供的信息,請解答下列問題:
(1)m= , n= .
(2)補全上圖中的條形統(tǒng)計圖.
(3)若全校共有2000名學生,請求出該校約有多少名學生喜愛打乒乓球.
(4)在抽查的m名學生中,有小薇、小燕、小紅、小梅等10名學生喜歡羽毛球活動,學校打算從小薇、小燕、小紅、小梅這4名女生中,選取2名參加全市中學生女子羽毛球比賽,請用列表法或畫樹狀圖法,求同時選中小紅、小燕的概率.(解答過程中,可將小薇、小燕、小紅、小梅分別用字母A、B、C、D代表)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小明用棋子擺放圖形來研究數(shù)的規(guī)律.圖1中棋子圍成三角形,其棵數(shù)3,6,9,12,…稱為三角形數(shù).類似地,圖2中的4,8,12,16,…稱為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是( )
A.2010
B.2012
C.2014
D.2016
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1所示,E為矩形ABCD的邊AD上一點,動點P、Q同時從點B出發(fā),點P以1cm/秒的速度沿折線BE﹣ED﹣DC運動到點C時停止,點Q以2cm/秒的速度沿BC運動到點C時停止.設P、Q同時出發(fā)t秒時,△BPQ的面積為ycm2 . 已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2;(其中曲線OG為拋物線的一部分,其余各部分均為線段),則下列結(jié)論:
①當0<t≤5時,y= t2;②當t=6秒時,△ABE≌△PQB;③cos∠CBE= ;④當t= 秒時,△ABE∽△QBP;
其中正確的是( )
A.①②
B.①③④
C.③④
D.①②④
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖平行四邊形ABCD中,∠ABD=30°,AB=4,AE⊥BD,CF⊥BD,且,E,F(xiàn)恰好是BD的三等分點,又M、N分別是AB,CD的中點,那么四邊形MENF的面積是 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線y= x+6與x軸、y軸的交點分別為A、B兩點,將∠OBA對折,使點O的對應點H落在直線AB上,折痕交x軸于點C.
(1)直接寫出點C的坐標,并求過A、B、C三點的拋物線的解析式;
(2)若(1)中拋物線的頂點為D,在直線BC上是否存在點P,使得四邊形ODAP為平行四邊形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由;
(3)若把(1)中的拋物線向左平移3.5個單位,則圖象與x軸交于F、N(點F在點N的左側(cè))兩點,交y軸于E點,則在此拋物線的對稱軸上是否存在一點Q,使點Q到E、N兩點的距離之差最大?若存在,請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某超市計劃在“十周年”慶典當天開展購物抽獎活動,凡當天在該超市購物的顧客,均有一次抽獎的機會,抽獎規(guī)則如下:將如圖所示的圓形轉(zhuǎn)盤平均分成四個扇形,分別標上1,2,3,4四個數(shù)字,抽獎者連續(xù)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次,當每次轉(zhuǎn)盤停止后指針所指扇形內(nèi)的數(shù)為每次所得的數(shù)(若指針指在分界線時重轉(zhuǎn));當兩次所得數(shù)字之和為8時,返現(xiàn)金20元;當兩次所得數(shù)字之和為7時,返現(xiàn)金15元;當兩次所得數(shù)字之和為6時返現(xiàn)金10元.
(1)試用樹狀圖或列表的方法表示出一次抽獎所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;
(2)某顧客參加一次抽獎,能獲得返還現(xiàn)金的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AB=8,點M在⊙O上,∠MAB=20°,N是弧MB的中點,P是直徑AB上的一動點.若MN=1,則△PMN周長的最小值為( 。
A.4
B.5
C.6
D.7
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