Question

如圖，AB為量角器（半圓O）的直徑，等腰直角△BCD的斜邊BD交量角器邊緣于點G，直角邊CD切量角器于讀數為60°的點E處（即弧AE的度數為60°），第三邊交量角器邊緣于點F處．
（1）求量角器在點G處的讀數α（0°＜α＜90°）；
（2）若AB=8 cm，求陰影部分面積．

Answer 1

分析：（1）連接OE，OF，證明∠ABC=60°，然后算出∠ABG．
（2）陰影部分的面積等于扇形OBF的面積-三角形OBF的面積．

解答：解：連接OE，OF
（1）∵CD切半圓O于點E
∴OE⊥CD（1分），
∵BD為等腰直角△BCD的斜邊，
∴BC⊥CD，∠CDB=∠CBD=45°，
∴OE∥BC（2分），
∴∠ABC=∠AOE=60°，
∴∠ABG=∠ABC-∠CBD=60°-45°=15°，（3分）
∴量角器在點G處的讀數α=弧AG的度數=2∠ABG=30°，（4分）

（2）∵OF=OB=

1

2

AB=4cm，∠ABC=60°，
∴△OBF為正三角形，∠BOF=60°，（5分）
∴S_扇形OBF=

1

6

×4²•π=

8

3

π（cm²），（6分）
S_△OBF=

3

4

×4²=4

3

（cm²），（7分）
∴S_陰影=S_扇形OBF-S_△OBF=（

8

3

π-4

3

）cm²
∴陰影部分的面積為（

8

3

π-4

3

）cm²（8分）．

點評：本題主要考查扇形面積的計算，求陰影面積需要轉換成求扇形面積和三角形面積．