Question

【題目】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，B表示的有理數(shù)分別為﹣6，3，點(diǎn)P是射線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合）．M是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是0，那么MN的長(zhǎng)為　 　；若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是6，那么MN的長(zhǎng)為　 　．

（2）點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B重合）的過(guò)程中，MN的長(zhǎng)是否發(fā)生改變？若不改變，請(qǐng)寫(xiě)出求MN的長(zhǎng)的過(guò)程；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）6；6；（2）MN的長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生改變，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是0，則AP＝6，BP＝3，根據(jù)題意先求出MP和NP，從而求出MN；若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是6，則AP＝12，BP＝3，根據(jù)題意先求出MP和NP，從而求出MN；

（2）設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)是a（a＞﹣6且a≠3），然后根據(jù)點(diǎn)P的位置分類討論：當(dāng)﹣6＜a＜3時(shí)，AP＝a+6，BP＝3﹣a，根據(jù)題意先求出MP和NP，從而求出MN；當(dāng)a＞3時(shí)，AP＝a+6，BP＝a﹣3，根據(jù)題意先求出MP和NP，從而求出MN.

解：（1）若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是0（如圖1），則AP＝6，BP＝3．

∵M是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．

∴MP＝AP＝4，NP＝BP＝2，

∴MN＝MP+NP＝6；

若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是6（如圖2），則AP＝12，BP＝3．

∵M是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．

∴MP＝AP＝8，NP＝BP＝2，

∴MN＝MP﹣NP＝6．

故答案為：6；6．

（2）MN的長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生改變，理由如下：

設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)是a（a＞﹣6且a≠3）．

當(dāng)﹣6＜a＜3時(shí)（如圖1），AP＝a+6，BP＝3﹣a．

∵M是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．

∴MP＝AP＝（a+6），NP＝BP＝（3﹣a），

∴MN＝MP+NP＝6；

當(dāng)a＞3時(shí)（如圖2），AP＝a+6，BP＝a﹣3．

∵M是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．

∴MP＝AP＝（a+6），NP＝BP＝（a﹣3），

∴MN＝MP﹣NP＝6．

綜上所述：點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B重合）的過(guò)程中，MN的長(zhǎng)為定值6．