Question

已知函數(shù)y₁=x，y₂=x²+bx+c，α，β為方程y₁-y₂=0的兩個根，點M（t，T）在函數(shù)y₂的圖象上．
（Ⅰ）若α=

1

3

，β=

1

2

，求函數(shù)y₂的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若函數(shù)y₁與y₂的圖象的兩個交點為A，B，當△ABM的面積為

1

123

時，求t的值；
（Ⅲ）若0＜α＜β＜1，當0＜t＜1時，試確定T，α，β三者之間的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）問通過把α=

1

3

，β=

1

2

分別代入y₁-y₂=0，確定b，c的值而求得函數(shù)y₂的解析式；
（2）問關(guān)鍵在于明確|t-T|=

2

h這一等量關(guān)系才能求得t的值；
（3）問難度較大，比較T、α、β的大小需要正確理解0＜α＜β＜1及0＜t＜1在整式變形中分類應(yīng)用．

解答：解：（1）∵y₁=x，y₂=x²+bx+c，y₁-y₂=0，
∴x²+（b-1）x+c=0．
將α=

1

3

，β=

1

2

分別代入x²+（b-1）x+c=0，
得（

1

3

）²+（b-1）×

1

3

+c=0，（

1

2

）²+（b-1）×

1

2

+c=0，
解得b=

1

6

，c=

1

6

．
∴函數(shù)y₂的解析式為y₂=x²+

1

6

x+

1

6

．

（2）由已知得：A（

1

2

，

1

2

），B（

1

3

，

1

3

），得AB=

( 1 2 - 1 3 )2+( 1 2 - 1 3 )2

=

2

6

，
設(shè)△ABM的高為h，
∴S_△ABM=

1

2

AB•h=

2

12

h=

1

123

，即

2

h=

1

144

，
根據(jù)題意：|t-T|=

2

h，
由T=t²+

1

6

t+

1

6

，
得：|-t²+

5

6

t-

1

6

|=

1

144

，
當t²-

5

6

t+

1

6

=-

1

144

時，解得：t₁=t₂=

5

12

；
當t²-

5

6

t+

1

6

=

1

144

時，解得：t₃=

5- 2

12

，t₄=

5+ 2

12

；
∴t的值為：

5

12

，

5- 2

12

，

5+ 2

12

；

（3）由已知，得α=α²+bα+c，β=β²+bβ+c，T=t²+bt+c．
∴T-α=（t-α）（t+α+b）；
T-β=（t-β）（t+β+b）；
α-β=（α²+bα+c）-（β²+bβ+c），
化簡得（α-β）（α+β+b-1）=0．
∵0＜α＜β＜1，得α-β≠0，
∴α+β+b-1=0．
有α+b=1-β＞0，β+b=1-α＞0．
又∵0＜t＜1，
∴t+α+b＞0，t+β+b＞0，
∴當0＜t≤a時，T≤α＜β；
當α＜t≤β時，α＜T≤β；
當β＜t＜1時，α＜β＜T．

點評：本題綜合考查一元二次方程與一次函數(shù)及二次函數(shù)的相關(guān)知識，一元二次方程與函數(shù)相結(jié)合的綜合問題是初中與高中知識銜接的重點內(nèi)容．對于這類問題，通常需要學生熟悉掌握方程與函數(shù)的概念與性質(zhì)及兩者之間的聯(lián)系．